Considere a superfície . Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície representada pela equação e queremos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o plano tangente em um ponto da superfície é um plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto e não corta a superfície em nenhuma direção infinitesimal próxima. Para encontrar esse plano, vamos usar o gradiente da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos considerar a função . A superfície é definida por . O gradiente dessa função, , nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto .

Passo 4

Calculando o gradiente, temos:
Esse vetor será perpendicular ao plano tangente no ponto .

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Então, o vetor normal ao plano tangente em é .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto , a equação do plano tangente pode ser escrita como:
Substituindo os valores que temos:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é .

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