Considere a superfície
. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície representada pela equação
e queremos encontrar a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o plano tangente em um ponto da superfície é um plano que “encosta” na superfície exatamente nesse ponto e não corta a superfície em nenhuma direção infinitesimal próxima. Para encontrar esse plano, vamos usar o gradiente da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos considerar a função
. A superfície é definida por
. O gradiente dessa função,
, nos dá um vetor normal à superfície em qualquer ponto
.
Passo 4
Calculando o gradiente, temos:
Esse vetor será perpendicular ao plano tangente no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Então, o vetor normal ao plano tangente em
é
.
Passo 6
Com o vetor normal
e o ponto
, a equação do plano tangente pode ser escrita como:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é
.