Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89) integral tg^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral tan^4 x , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos usar a identidade básica que relaciona a tangente e a secante: tan^2x = sec^2x - 1.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan^4x usando a identidade que mencionei:
tan^4x = (tan^2x)^2 = (sec^2x - 1)^2
Isso nos ajuda a expandir a expressão e facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
(sec^2x - 1)^2 = sec^4x - 2sec^2x + 1
Então, a integral original fica:
integral tan^4x , dx = integral (sec^4x - 2sec^2x + 1) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de sec^4x:
    Sabemos que integral sec^4x , dx = tan^3x3 + tan x + C, mas uma forma mais simples é usar a redução: integral sec^4x , dx = tan x cdot sec^2x3 + 23 integral sec^2x , dx Simplificando, temos: 13tan x sec^2x + 23 tan x
  2. Integral de -2sec^2x:
    Sabemos que integral sec^2x , dx = tan x + C, então: -2 tan x
  3. Integral de 1: integral 1 , dx = x

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as integrais:
integral tan^4x , dx = (13tan x sec^2x + 23 tan x) - 2 tan x + x + C
Simplificando os termos com tan x:
13tan x sec^2x + (23 - 2)tan x + x + C = 13tan x sec^2x - 43tan x + x + C

Resposta

A integral indefinida de tan^4x é:
integral tan^4x , dx = 13tan x sec^2x - 43tan x + x + C
onde é a constante de integração.

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