Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos usar a identidade básica que relaciona a tangente e a secante:
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
usando a identidade que mencionei:
Isso nos ajuda a expandir a expressão e facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
Sabemos que, mas uma forma mais simples é usar a redução: Simplificando, temos: - Integral de
:
Sabemos que, então: - Integral de
:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as integrais:
Simplificando os termos com
:
Resposta
A integral indefinida de
é:
onde
é a constante de integração.