Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos usar a identidade básica que relaciona a tangente e a secante: .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever usando a identidade que mencionei:
Isso nos ajuda a expandir a expressão e facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral original fica:

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de :
    Sabemos que , mas uma forma mais simples é usar a redução: Simplificando, temos:
  2. Integral de :
    Sabemos que , então:
  3. Integral de :

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as integrais:
Simplificando os termos com :

Resposta

A integral indefinida de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então . Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a e . Se quando , encontre como função do tempo , esboce gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)
Considere a superfície . Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto .
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
94)