Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando identidades trigonométricas para simplificar a expressão antes de integrar. Para isso, vamos usar a identidade básica que relaciona a tangente e a secante:
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
usando a identidade que mencionei:
Isso nos ajuda a expandir a expressão e facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos expandir o quadrado:
Então, a integral original fica:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente:
- Integral de
:
Sabemos que, mas uma forma mais simples é usar a redução: Simplificando, temos: - Integral de
:
Sabemos que, então: - Integral de
:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as integrais:
Simplificando os termos com
:
Resposta
A integral indefinida de
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se
e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então
. Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação
é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a
e
. Se
quando
, encontre
como função do tempo
, esboce
gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)
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Considere a superfície
. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
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