Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se x e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então x + y = 1. Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação d x / d t é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a x e y. Se x = x0 quando t = 0, encontre x como função do tempo t, esboce o gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como uma doença se espalha numa população dividida em dois grupos: os infectados ( x) e os não infectados ( y). Sabemos que , ou seja, a soma das proporções desses dois grupos é igual a 100%. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais para modelar a propagação da doença. Precisamos descobrir como x varia com o tempo t e mostrar que, no final das contas, toda a população acaba sendo infectada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que como , podemos expressar y em termos de x: ou seja, . Isso simplifica as coisas porque agora só precisamos trabalhar com uma variável ( x) em vez de duas.

Passo 3

Agora, o enunciado diz que a taxa de propagação da doença ( ) é proporcional ao número de contatos entre pessoas infectadas e não infectadas. Como o número desses contatos depende de x e y, a taxa de propagação pode ser expressa como , onde k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 4

Substituindo y por na equação acima, ficamos com:
Essa é uma equação diferencial que descreve como x muda ao longo do tempo.

Passo 5

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para x:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde ainda é uma constante.
Resolvendo para x:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar C:
Substituindo de volta na expressão de x, temos:

Passo 7

Para esboçar o gráfico de x(t), observamos que quando t aumenta, também aumenta, fazendo com que x(t) se aproxime cada vez mais de 1. O gráfico terá o formato de uma curva sigmoidal, começando em quando e aumentando até chegar a 1 conforme t vai para o infinito.

Passo 8

Finalmente, para mostrar que a doença se espalhará por toda a população, analisamos o limite de x(t) quando t tende ao infinito:
Isso mostra que, com o tempo, a proporção de pessoas infectadas se aproxima de 100%, ou seja, a doença alcança toda a população.

Resposta

A função que descreve a proporção de pessoas infectadas ao longo do tempo é:
Onde:
  • é a proporção inicial de infectados,
  • k é a constante de propagação,
  • t é o tempo.
Essa função mostra que, à medida que o tempo aumenta, x(t) se aproxima de 1, indicando que toda a população ficará infectada.

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