Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se
e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então
. Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação
é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a
e
. Se
quando
, encontre
como função do tempo
, esboce
gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como uma doença se espalha numa população dividida em dois grupos: os infectados (
) e os não infectados (
). Sabemos que
, ou seja, a soma das proporções desses dois grupos é igual a 100%. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais para modelar a propagação da doença. Precisamos descobrir como
varia com o tempo
e mostrar que, no final das contas, toda a população acaba sendo infectada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que como
, podemos expressar
em termos de
: ou seja,
. Isso simplifica as coisas porque agora só precisamos trabalhar com uma variável (
) em vez de duas.
Passo 3
Agora, o enunciado diz que a taxa de propagação da doença (
) é proporcional ao número de contatos entre pessoas infectadas e não infectadas. Como o número desses contatos depende de
e
, a taxa de propagação pode ser expressa como
, onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 4
Substituindo
por
na equação acima, ficamos com:
Essa é uma equação diferencial que descreve como
muda ao longo do tempo.
Passo 5
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis:
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que podemos decompor usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Integrando ambos os lados, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
ainda é uma constante.
Resolvendo para
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Substituindo de volta na expressão de
, temos:
Passo 7
Para esboçar o gráfico de
, observamos que quando
aumenta,
também aumenta, fazendo com que
se aproxime cada vez mais de 1. O gráfico terá o formato de uma curva sigmoidal, começando em
quando
e aumentando até chegar a 1 conforme
vai para o infinito.
Passo 8
Finalmente, para mostrar que a doença se espalhará por toda a população, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso mostra que, com o tempo, a proporção de pessoas infectadas se aproxima de 100%, ou seja, a doença alcança toda a população.
Resposta
A função que descreve a proporção de pessoas infectadas ao longo do tempo é:
Onde:
-
é a proporção inicial de infectados, -
é a constante de propagação, -
é o tempo.
Essa função mostra que, à medida que o tempo aumenta,
se aproxima de 1, indicando que toda a população ficará infectada.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)
86)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)
89)
Considere a superfície
. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
.