Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
94) integral 3 x e^-2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em métodos de integração. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é ótimo para integrar produtos de funções como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = 3x e dv = e^-2x , dx
Então, precisamos encontrar du = ddx(3x) , dx = 3 , dx e v = integral e^-2x , dx = e^-2x-2 = -12 e^-2x . Vamos derivar e integrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral 3x e^-2x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= 3x cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cdot 3 , dx

Passo 5

Vamos simplificar:
= -32x e^-2x + 32 integral e^-2x , dx
Agora, precisamos resolver a integral integral e^-2x , dx = -12 e^-2x + C , que já sabemos que é:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= -32x e^-2x + 32 (-12 e^-2x) + C
Simplificando mais:
= -32x e^-2x - 34 e^-2x + C

Resposta

integral 3x e^-2x , dx = -32x e^-2x - 34 e^-2x + C

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