Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
94)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente em métodos de integração. Para resolver, vamos usar o método de integração por partes, que é ótimo para integrar produtos de funções como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Então, precisamos encontrar e . Vamos derivar e integrar :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar:
Agora, precisamos resolver a integral , que já sabemos que é:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando mais:

Resposta

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Considere a superfície . Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto .
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)
Um tanque contém 100 galões de salmoura em que 40 libras de sal estão dissolvidas. Deseja-se reduzir a concentração de sal para 0,1 libras por galão, despejando água pura à taxa de 5 galões por minuto e permitindo que a mistura (que é mantida uniforme por agitação) flua para fora à mesma taxa. Quanto tempo isso levará?
Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto .