Um tanque contém 100 galões de salmoura em que 40 libras de sal estão dissolvidas. Deseja-se reduzir a concentração de sal para 0,1 libras por galão, despejando água pura à taxa de 5 galões por minuto e permitindo que a mistura (que é mantida uniforme por agitação) flua para fora à mesma taxa. Quanto tempo isso levará?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um tanque com 100 galões de salmoura, onde estão dissolvidas 40 libras de sal. Queremos diminuir a concentração de sal para 0,1 libras por galão. Para isso, vamos adicionar água pura ao tanque à taxa de 5 galões por minuto e, ao mesmo tempo, deixar a mistura sair na mesma taxa. Nosso objetivo é calcular quanto tempo isso vai levar.
Vamos usar conceitos de taxas de variação e equações diferenciais para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que está acontecendo no tanque. A quantidade de sal no tanque vai diminuir porque estamos adicionando água pura (que não tem sal) e removendo a mistura salina. Vamos chamar
de quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo
.
Sabemos que:
- Volume do tanque: 100 galões (constante, pois a entrada e saída são iguais).
- Taxa de entrada de água pura: 5 galões por minuto.
- Taxa de saída da mistura: 5 galões por minuto.
- Concentração inicial de sal: 40 libras em 100 galões, ou seja, 0,4 libras por galão.
Passo 3
Agora, vamos expressar a taxa de variação da quantidade de sal no tanque. A variação do sal depende da diferença entre o sal que entra e o sal que sai.
- Taxa de entrada de sal: Como estamos adicionando água pura, não há sal entrando. Portanto, essa taxa é 0.
- Taxa de saída de sal: A mistura que sai tem a mesma concentração que está no tanque a qualquer momento. A concentração é
libras por galão. Como a saída é de 5 galões por minuto, a taxa de saída de sal é libras por minuto.
Portanto, a equação que descreve a taxa de variação do sal é:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Podemos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante. Para encontrar
, usamos a condição inicial. Sabemos que quando
,
libras.
Substituindo na equação:
Então, a equação que descreve a quantidade de sal no tempo
é:
Passo 6
Queremos encontrar o tempo
quando a concentração de sal for
libras por galão. Como o volume do tanque é 100 galões, a quantidade de sal desejada é:
Então, colocamos
na equação:
Vamos resolver para
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Simplificando:
Calculando o valor numérico:
Resposta
Levará aproximadamente 27,72 minutos para reduzir a concentração de sal para 0,1 libras por galão.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
94)
94)
Considere a superfície
. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto
.
Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
99)
99)