Considere a superfície . Determine a equação da reta tangente à curva de interseção com o plano no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a equação da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva de interseção entre a superfície e o plano . Como é fixo em , substituímos esse valor na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida por:
Isso significa que nossa curva está no plano e varia com .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Para achar a equação da reta tangente, precisamos do ponto de tangência e do vetor diretor da reta.
O ponto de tangência já nos foi dado: . Vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, o ponto completo é .
Passo 4
Para encontrar o vetor diretor da reta tangente, precisamos calcular a derivada da função em relação a . Isso nos dará a inclinação da curva no ponto considerado.
Vamos derivar em relação a :
No ponto :
Passo 5
O vetor tangente à curva no ponto é formado por . Como é constante (), a derivada . Já e .
Portanto, o vetor diretor da reta tangente é:
Passo 6
Com o ponto de tangência e o vetor diretor , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente.