Seja a superfície z = ln(x + y). Encontre a equação da reta tangente à curva de interseção com o plano x = 2 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a superfície definida pela equação e precisa achar a equação da reta tangente à curva de interseção dessa superfície com o plano no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a curva de interseção entre a superfície e o plano . Para isso, substituímos na equação da superfície:
Então, a curva de interseção é definida pela equação no plano .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é sempre 2, podemos usar como parâmetro. Assim, temos:
onde representa o valor de .

Passo 4

Para achar a reta tangente no ponto , precisamos determinar a derivada de em relação a no ponto onde . Vamos derivar :
No ponto onde :

Passo 5

Agora, sabemos que a derivada representa a inclinação da reta tangente em relação ao parâmetro . A equação da reta tangente pode ser escrita parametricamente:
Onde e .

Passo 6

Simplificando, como é constante (sempre 2), e varia com , podemos escrever a reta tangente como:
Para deixar numa forma mais comum, podemos usar como parâmetro.

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:
Onde é o parâmetro da reta.

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