Faça um esboço do gráfico de uma função
que passa pelos pontos
(e,f(e)). Suponha que
.
a)
não existe;
se
;
se
se
a)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente desenhar o gráfico de uma função
que passa por três pontos específicos:
,
e
, onde
. A matéria que vamos usar envolve derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função, como inclinação e concavidade. Vamos precisar analisar as informações dadas sobre as derivadas nesses pontos e intervalos para esboçar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira,
. Ela nos diz a inclinação da função em cada ponto. Quando
, significa que a reta tangente é horizontal, ou seja, pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão horizontal.
No ponto
, temos que
. Então, nesse ponto, a inclinação é zero.
Em
, a derivada não existe. Isso geralmente acontece em pontos de cantos ou onde a função tem uma descontinuidade na inclinação.
Em
, também
, então novamente a inclinação é zero nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos para a derivada segunda,
, que nos mostra a concavidade da função. Se
, a função é côncava para cima (parece um sorriso) e se
, é côncava para baixo (parece uma cara triste).
No ponto
, temos que
, o que pode indicar um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Além disso, para
,
, então a função é côncava para baixo nessa região.
Para
, ainda
, continuando côncava para baixo.
Já para
,
, então a função muda para côncava para cima.
Passo 4
Vamos juntar essas informações para esboçar o gráfico:
- Em
, a inclinação é zero e a função é côncava para baixo antes de . Então, em , pode ser um ponto de máximo local. - Em
, a derivada não existe, indicando um possível canto ou quebra na inclinação. - Em
, a inclinação é zero novamente, mas a concavidade muda de para baixo para para cima, sugerindo um ponto de inflexão.
Passo 5
Com base nisso, nosso gráfico vai ter:
- Um ponto de máximo em
com tangente horizontal. - Uma quebra na inclinação em
, sem máxima nem mínima. - Um ponto em
onde a inclinação é zero e a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão.
Resposta
Então, o esboço do gráfico de
mostra um ponto de máximo em
, uma quebra na inclinação em
e um ponto de inflexão em
, com a concavidade sendo para baixo antes de
e entre
e
, mudando para cima após
.