Faça um esboço do gráfico de uma função f que passa pelos pontos (c, f(c)), (d, f(d)) e (e,f(e)). Suponha que c < d < e.
a) f'(c)=0 ; f'(d) não existe; f'(e) = 0 ; f''(e) = 0 ; f''(x) < 0 se x < d;
f''(x) < 0 se d<x<e ; f''(x)>0 se x > e

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede pra gente desenhar o gráfico de uma função que passa por três pontos específicos: , e , onde . A matéria que vamos usar envolve derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da função, como inclinação e concavidade. Vamos precisar analisar as informações dadas sobre as derivadas nesses pontos e intervalos para esboçar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a derivada primeira, . Ela nos diz a inclinação da função em cada ponto. Quando , significa que a reta tangente é horizontal, ou seja, pode ser um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão horizontal.
No ponto , temos que . Então, nesse ponto, a inclinação é zero.
Em , a derivada não existe. Isso geralmente acontece em pontos de cantos ou onde a função tem uma descontinuidade na inclinação.
Em , também , então novamente a inclinação é zero nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos para a derivada segunda, , que nos mostra a concavidade da função. Se , a função é côncava para cima (parece um sorriso) e se , é côncava para baixo (parece uma cara triste).
No ponto , temos que , o que pode indicar um ponto de inflexão, onde a concavidade muda.
Além disso, para , , então a função é côncava para baixo nessa região.
Para , ainda , continuando côncava para baixo.
Já para , , então a função muda para côncava para cima.

Passo 4

Vamos juntar essas informações para esboçar o gráfico:
  1. Em , a inclinação é zero e a função é côncava para baixo antes de . Então, em , pode ser um ponto de máximo local.
  2. Em , a derivada não existe, indicando um possível canto ou quebra na inclinação.
  3. Em , a inclinação é zero novamente, mas a concavidade muda de para baixo para para cima, sugerindo um ponto de inflexão.

Passo 5

Com base nisso, nosso gráfico vai ter:
  • Um ponto de máximo em com tangente horizontal.
  • Uma quebra na inclinação em , sem máxima nem mínima.
  • Um ponto em onde a inclinação é zero e a concavidade muda, indicando um ponto de inflexão.

Resposta

Então, o esboço do gráfico de mostra um ponto de máximo em , uma quebra na inclinação em e um ponto de inflexão em , com a concavidade sendo para baixo antes de e entre e , mudando para cima após .

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