Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. 44.
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então, dado
, teremos
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz o seguinte: Se
é uma função vetorial contínua no intervalo
, então, para qualquer
, a derivada em relação a
da integral de
de
até
é igual a
. Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função vetorial contínua e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial contínua. Uma função vetorial
contínua no intervalo
significa que não há “saltos” ou “rupturas” no comportamento da função dentro desse intervalo. Ela varia de forma suave de
a
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, que tem duas partes. A parte que vamos usar diz que se
é contínua em
, então a função definida por
é diferenciável em
e a sua derivada é
Isso conecta a operação de integração com a derivação.
Passo 4
Aplicando esse teorema à nossa função vetorial
, que é contínua no intervalo
, podemos definir
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada dessa função
em relação a
deve ser exatamente
, ou seja,
Resposta
Verdadeiro.