Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. 44. Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no intervalo [a, b], então, dado a, teremos
dd t[integrala^t r(u) d u]=r(t)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma afirmação que diz o seguinte: Se é uma função vetorial contínua no intervalo , então, para qualquer , a derivada em relação a da integral de de até é igual a . Nosso objetivo é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função vetorial contínua e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial contínua. Uma função vetorial contínua no intervalo significa que não há “saltos” ou “rupturas” no comportamento da função dentro desse intervalo. Ela varia de forma suave de a .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, que tem duas partes. A parte que vamos usar diz que se F(t) = integrala^t f(u) , du é contínua em F'(t) = f(t) , então a função definida por
é diferenciável em e a sua derivada é
Isso conecta a operação de integração com a derivação.

Passo 4

Aplicando esse teorema à nossa função vetorial F(t) = integrala^t r(u) , du , que é contínua no intervalo ddt [ integrala^t r(u) , du ] = r(t) , podemos definir
De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada dessa função em relação a deve ser exatamente , ou seja,

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados