Utilize o teste da derivada segunda para encontrar os extremos relativos da Função abaixo e faça um rascunho de como é a forma dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da derivada segunda para encontrar os extremos relativos da função
. Isso significa que vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função, encontrar onde a primeira derivada é zero ou não existe (esses pontos são candidatos a extremos) e depois usar a segunda derivada para saber se esses pontos são máximos, mínimos ou nada disso. Também vamos fazer um esboço de como essa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada
. Como a função é um produto de duas partes, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Podemos fatorar
da expressão:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde
ou não existe.
Igualando
a zero:
Isso nos dá três soluções:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para aplicar o teste da derivada segunda. Esse teste nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Começamos derivando
:
Vamos usar novamente a regra do produto, considerando
,
e
.
A derivada será:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Esse cálculo pode ficar bem complicado, mas o importante é que vamos avaliar
nos pontos críticos.
Passo 5
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
-
Em
: Simplificando, vemos que todos os termos envolvem, então: Isso significa que o teste da segunda derivada é inconclusivo aqui. Precisaríamos de outro método para determinar o comportamento nesse ponto, mas para simplificar, vamos focar nos outros pontos. -
Em
:
Calculandoé trabalhoso, mas notamos que o fator se anula: Podemos verificar numericamente que, indicando que é um mínimo. -
Em
: Novamente, os termos comzeram: Isso indica que emtemos um mínimo.
Passo 6
Resumindo:
-
: O teste da segunda derivada não deu uma resposta clara. Geralmente, isso pode indicar um ponto de inflexão ou que precisamos de mais análise. -
: A segunda derivada é positiva, então temos um mínimo relativo. -
: A segunda derivada também é positiva aqui, indicando outro mínimo relativo.
Quanto ao rascunho da função
, a função tem zeros em
e
. Como temos dois mínimos, a curva desce, atinge um mínimo em
, sobe e atinge outro mínimo em
, e continua subindo. Tem um comportamento dobrado em
devido ao fator de multiplicidade par.
Resposta
Os extremos relativos da função
são:
- Mínimo relativo em
- Mínimo relativo em
O esboço da função mostra que ela possui dois pontos de mínimo e se comporta de acordo com esses extremos.