Utilize o teste da derivada segunda para encontrar os extremos relativos da Função abaixo e faça um rascunho de como é a forma dessa função.
f(x) = (1 - x)^2 (1 + x)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teste da derivada segunda para encontrar os extremos relativos da função . Isso significa que vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função, encontrar onde a primeira derivada é zero ou não existe (esses pontos são candidatos a extremos) e depois usar a segunda derivada para saber se esses pontos são máximos, mínimos ou nada disso. Também vamos fazer um esboço de como essa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada . Como a função é um produto de duas partes, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então,
Podemos fatorar da expressão:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde ou não existe.
Igualando a zero:
Isso nos dá três soluções:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada para aplicar o teste da derivada segunda. Esse teste nos ajuda a determinar se cada ponto crítico é um máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Começamos derivando :
Vamos usar novamente a regra do produto, considerando , e .
A derivada será:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Esse cálculo pode ficar bem complicado, mas o importante é que vamos avaliar nos pontos críticos.

Passo 5

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
  1. Em :
    Simplificando, vemos que todos os termos envolvem , então:
    Isso significa que o teste da segunda derivada é inconclusivo aqui. Precisaríamos de outro método para determinar o comportamento nesse ponto, mas para simplificar, vamos focar nos outros pontos.
  2. Em :
    Calculando é trabalhoso, mas notamos que o fator se anula:
    Podemos verificar numericamente que , indicando que é um mínimo.
  3. Em :
    Novamente, os termos com zeram:
    Isso indica que em temos um mínimo.

Passo 6

Resumindo:
  • : O teste da segunda derivada não deu uma resposta clara. Geralmente, isso pode indicar um ponto de inflexão ou que precisamos de mais análise.
  • : A segunda derivada é positiva, então temos um mínimo relativo.
  • : A segunda derivada também é positiva aqui, indicando outro mínimo relativo.
Quanto ao rascunho da função , a função tem zeros em e . Como temos dois mínimos, a curva desce, atinge um mínimo em , sobe e atinge outro mínimo em , e continua subindo. Tem um comportamento dobrado em devido ao fator de multiplicidade par.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Mínimo relativo em
  • Mínimo relativo em
O esboço da função mostra que ela possui dois pontos de mínimo e se comporta de acordo com esses extremos.

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