Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Vamos usar a transformada de Laplace para resolver isso. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que:
Onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace na equação original:
Como
e
, simplificamos:
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos com
:
Perceba que
, então:
Passo 5
Para achar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Mas antes, vamos quebrar essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
substituindo valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para solucionar
, escolhemos :
Passo 7
Agora que temos
,
e
, a expressão fica:
Passo 8
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso:
Resposta
A solução da equação diferencial é: