Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Vamos usar a transformada de Laplace para resolver isso. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que:
Onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação original:
Como e , simplificamos:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos com :
Perceba que , então:

Passo 5

Para achar , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Mas antes, vamos quebrar essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de , e substituindo valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para solucionar , escolhemos :

Passo 7

Agora que temos , e , a expressão fica:

Passo 8

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva 2 sen no ponto .
Considere a superfície .
O plano intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação da reta tangente a essa curva em .
Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e
Reparametrize a curva relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto na direção crescente de .