Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y'' - 2y' + y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Vamos usar a transformada de Laplace para resolver isso. A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que:
Onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace na equação original:
Como e , simplificamos:

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos com :
Perceba que , então:

Passo 5

Para achar , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Mas antes, vamos quebrar essa fração usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de , e substituindo valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para solucionar , escolhemos :

Passo 7

Agora que temos , e , a expressão fica:

Passo 8

Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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