Dados
e
e
vetores em
e
, mostre as seguintes propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional:
,
, e . O que precisamos mostrar é que quando somamos dois vetores, a ordem não importa. Ou seja,
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como se faz a soma de vetores. Quando a gente soma dois vetores, a gente soma cada componente correspondente deles. Então, se tivermos
e
, a soma
será:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores
e
. Calculando
:
E fazendo o contrário, ou seja,
:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que a soma de números reais é comutativa. Isso significa que
para quaisquer números reais
e
. Aplicando isso às componentes dos vetores:
Passo 5
Substituindo essas igualdades na expressão de
, temos:
Que é exatamente a mesma coisa que obtivemos para
.
Resposta
Portanto, mostramos que
, confirmando que a soma de vetores é comutativa.