Dados u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) e w=(x3, y3, z3) vetores em R^3 e k in R, mostre as seguintes propriedades: u+v=v+u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), e . O que precisamos mostrar é que quando somamos dois vetores, a ordem não importa. Ou seja, w = (x3, y3, z3). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se faz a soma de vetores. Quando a gente soma dois vetores, a gente soma cada componente correspondente deles. Então, se tivermos a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), a soma a + b será:
a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores u e v. Calculando u + v:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
E fazendo o contrário, ou seja, v + u:
v + u = (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a soma de números reais é comutativa. Isso significa que a + b = b + a para quaisquer números reais a e b. Aplicando isso às componentes dos vetores:
  • x1 + x2 = x2 + x1
  • y1 + y2 = y2 + y1
  • z1 + z2 = z2 + z1

Passo 5

Substituindo essas igualdades na expressão de v + u, temos:
v + u = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Que é exatamente a mesma coisa que obtivemos para u + v.

Resposta

Portanto, mostramos que u + v = v + u, confirmando que a soma de vetores é comutativa.

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