Dados e e vetores em e , mostre as seguintes propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço tridimensional: , , e . O que precisamos mostrar é que quando somamos dois vetores, a ordem não importa. Ou seja, . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se faz a soma de vetores. Quando a gente soma dois vetores, a gente soma cada componente correspondente deles. Então, se tivermos e , a soma será:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores e . Calculando :
E fazendo o contrário, ou seja, :

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a soma de números reais é comutativa. Isso significa que para quaisquer números reais e . Aplicando isso às componentes dos vetores:

Passo 5

Substituindo essas igualdades na expressão de , temos:
Que é exatamente a mesma coisa que obtivemos para .

Resposta

Portanto, mostramos que , confirmando que a soma de vetores é comutativa.

Exercícios relacionados

Verifique quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis e, caso seja possível, determine matrizes (não singular) e (diagonal) tais que .
Considere dada por .
(a) Mostre que é uma transformação linear.
Seja . Defina a transformação linear .
(b) Mostre que não é sobrejetora e encontre um vetor de que não está na imagem de .
Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e . Calcule as coordenadas dos outros vértices.