Considere T: R^7 R^10 linear.
b) Se dim N(T)=3, então dim Im(T))=

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . Sabemos que a dimensão do núcleo de , ou seja, , é 3. Queremos descobrir a dimensão da imagem de , representada por .
Aqui, vamos usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem) que relaciona a dimensão do espaço de partida, o núcleo e a imagem de uma transformação linear.

Passo 2

O Teorema da Dimensão afirma que, para uma transformação linear dim V = dim N(T) + dim Im(T) :
Isso significa que a dimensão do espaço de origem ( ) é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de .

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso, temos:
dim R^7 = dim N(T) + dim Im(T)
Sabemos que:
dim R^7 = 7 e dim N(T) = 3

Passo 4

Substituindo esses valores na equação:
7 = 3 + dim Im(T)
Agora, basta resolver para dim Im(T) = 7 - 3 = 4 :

Resposta

A dimensão da imagem de é 4.

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