Considere linear.
b) Se , então

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear . Sabemos que a dimensão do núcleo de , ou seja, , é 3. Queremos descobrir a dimensão da imagem de , representada por .
Aqui, vamos usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem) que relaciona a dimensão do espaço de partida, o núcleo e a imagem de uma transformação linear.

Passo 2

O Teorema da Dimensão afirma que, para uma transformação linear :
Isso significa que a dimensão do espaço de origem ( ) é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de .

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso, temos:
Sabemos que:

Passo 4

Substituindo esses valores na equação:
Agora, basta resolver para :

Resposta

A dimensão da imagem de é 4.

Exercícios relacionados

Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.
Sejam os vetores e do . Expressar vetor como combinação linear de e :
Mostre que o vetor não é combinação linear dos vetores e . A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com três incógnitas que não possui solução e que tem o vetor como segundo membro.
Dentre as seguintes funções, determine quais são lineares:
d)