Considere
linear.
b) Se
, então
b) Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
. Sabemos que a dimensão do núcleo de
, ou seja,
, é 3. Queremos descobrir a dimensão da imagem de
, representada por
.
Aqui, vamos usar o Teorema da Dimensão (também conhecido como Teorema do Núcleo e Imagem) que relaciona a dimensão do espaço de partida, o núcleo e a imagem de uma transformação linear.
Passo 2
O Teorema da Dimensão afirma que, para uma transformação linear
:
Isso significa que a dimensão do espaço de origem (
) é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
.
Passo 3
Aplicando esse teorema ao nosso caso, temos:
Sabemos que:
Passo 4
Substituindo esses valores na equação:
Agora, basta resolver para
:
Resposta
A dimensão da imagem de
é 4.
Exercícios relacionados
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.
Sejam os vetores
e
do
. Expressar vetor
como combinação linear de
e
:
Mostre que o vetor
não é combinação linear dos vetores
e
. A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com três incógnitas que não possui solução e que tem o vetor
como segundo membro.
Dentre as seguintes funções, determine quais são lineares:
d)
d)