Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial gerado pelos vetores , e . A base é um conjunto de vetores que são “básicos” para formar todo o subespaço, sem serem redundantes. Além disso, vamos determinar a dimensão desse subespaço, que é simplesmente a quantidade de vetores na base. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes usando operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar os vetores , e como colunas em uma matriz. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor e aplicar o método de escalonamento para ver se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 3
Agora, vamos fazer operações nas linhas da matriz para deixá-la em forma escalonada (ou seja, com zeros abaixo dos pivôs). Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são independentes.
Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está ok).
Zeramos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha: 3 - 3 times 1 = 0 3 - 3 times (-1) = 6 21 - 3 times 1 = 18
Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha: 5 - 5 times 1 = 0 -1 - 5 times (-1) = 4 1 - 5 times 1 = -4
A matriz fica assim:
1 & -1 & 1 0 & 6 & 18 0 & 4 & -4
Agora, vamos deixar o segundo pivô como 1 dividindo a segunda linha por 6:
1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 4 & -4
Por fim, zeramos o elemento abaixo do segundo pivô:
Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha: 4 - 4 times 1 = 0 -4 - 4 times 3 = -16
A matriz final fica:
1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & -16
Passo 4
Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todos os pivôs são diferentes de zero, isso significa que os três vetores u, v e w são linearmente independentes. Portanto, todos eles fazem parte da base do subespaço.
Resposta
A base para o subespaço vetorial é formada pelos vetores u = (1,3,5), v = (-1,3,-1) e w = (1,21,1). A dimensão desse subespaço é 3.