Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.
u=(1,3,5),, v=(-1,3,-1), w=(1,21,1)

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial gerado pelos vetores u, v e w. A base é um conjunto de vetores que são “básicos” para formar todo o subespaço, sem serem redundantes. Além disso, vamos determinar a dimensão desse subespaço, que é simplesmente a quantidade de vetores na base. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes usando operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar os vetores u, v e w como colunas em uma matriz. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor e aplicar o método de escalonamento para ver se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.
A = 1 & -1 & 1 3 & 3 & 21 5 & -1 & 1

Passo 3

Agora, vamos fazer operações nas linhas da matriz para deixá-la em forma escalonada (ou seja, com zeros abaixo dos pivôs). Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são independentes.
  1. Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está ok).
  2. Zeramos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna:
    • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha: 3 - 3 times 1 = 0 3 - 3 times (-1) = 6 21 - 3 times 1 = 18
    • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha: 5 - 5 times 1 = 0 -1 - 5 times (-1) = 4 1 - 5 times 1 = -4
    A matriz fica assim:
    1 & -1 & 1 0 & 6 & 18 0 & 4 & -4
  3. Agora, vamos deixar o segundo pivô como 1 dividindo a segunda linha por 6:
    1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 4 & -4
  4. Por fim, zeramos o elemento abaixo do segundo pivô:
    • Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha: 4 - 4 times 1 = 0 -4 - 4 times 3 = -16
    A matriz final fica:
    1 & -1 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & -16

Passo 4

Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todos os pivôs são diferentes de zero, isso significa que os três vetores u, v e w são linearmente independentes. Portanto, todos eles fazem parte da base do subespaço.

Resposta

A base para o subespaço vetorial é formada pelos vetores u = (1,3,5), v = (-1,3,-1) e w = (1,21,1). A dimensão desse subespaço é 3.

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