Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para o subespaço vetorial gerado pelos vetores , e . A base é um conjunto de vetores que são “básicos” para formar todo o subespaço, sem serem redundantes. Além disso, vamos determinar a dimensão desse subespaço, que é simplesmente a quantidade de vetores na base. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores são linearmente independentes usando operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar os vetores , e como colunas em uma matriz. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor e aplicar o método de escalonamento para ver se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Agora, vamos fazer operações nas linhas da matriz para deixá-la em forma escalonada (ou seja, com zeros abaixo dos pivôs). Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são independentes.
  1. Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como 1 (já está ok).
  2. Zeramos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna:
    • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
    • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira linha:
    A matriz fica assim:
  3. Agora, vamos deixar o segundo pivô como 1 dividindo a segunda linha por 6:
  4. Por fim, zeramos o elemento abaixo do segundo pivô:
    • Subtraímos 4 vezes a segunda linha da terceira linha:
    A matriz final fica:

Passo 4

Como conseguimos reduzir a matriz para uma forma onde todos os pivôs são diferentes de zero, isso significa que os três vetores , e são linearmente independentes. Portanto, todos eles fazem parte da base do subespaço.

Resposta

A base para o subespaço vetorial é formada pelos vetores , e . A dimensão desse subespaço é 3.

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e do . Expressar vetor como combinação linear de e :
Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos:
.
Considere linear.
b) Se , então
Mostre que o vetor não é combinação linear dos vetores e . A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com três incógnitas que não possui solução e que tem o vetor como segundo membro.