Mostre que o vetor não é combinação linear dos vetores e . A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com três incógnitas que não possui solução e que tem o vetor como segundo membro.
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito: temos o vetor e queremos mostrar que ele não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações. Depois, vamos formular um sistema de 3 equações com 3 incógnitas que tenha como termo independente e que não tenha solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Um vetor é uma combinação linear dos vetores e se existirem números (escalares) e tais que:
No nosso caso:
Passo 3
Vamos escrever essa igualdade componente a componente. Isso significa que cada coordenada do vetor deve ser igual à combinação das coordenadas correspondentes de e :
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos tentar resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (a + 2c) - (a + c) = 2 - 1 a + 2c - a - c = 1 c = 1 e .
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
Passo 5
Com a + 1 = 1 a = 0 , substituímos na primeira equação para encontrar 2a + c = 2 2 cdot 0 + 1 = 2 1 = 2 :
Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não faz sentido, pois não é igual a . Portanto, não existe solução para esse sistema.
Passo 6
Como o sistema de equações não tem solução, concluímos que não existem valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Ou seja, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .
Resposta
O vetor a + c = 1 a + 2c = 2 2a + c = 2 não é combinação linear dos vetores e . O sistema linear que tem como termo independente e que não possui solução é: