Mostre que o vetor b=(1,2,2) não é combinação linear dos vetores u=(1,1,2) e v=(1,2,1). A partir daí, formule um sistema linear de 3 equações com três incógnitas que não possui solução e que tem o vetor b como segundo membro.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito: temos o vetor e queremos mostrar que ele não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações. Depois, vamos formular um sistema de 3 equações com 3 incógnitas que tenha como termo independente e que não tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Um vetor b = a cdot u + c cdot v é uma combinação linear dos vetores (1,2,2) = a cdot (1,1,2) + c cdot (1,2,1) e se existirem números (escalares) e tais que:
No nosso caso:

Passo 3

Vamos escrever essa igualdade componente a componente. Isso significa que cada coordenada do vetor 1 = a cdot 1 + c cdot 1 2 = a cdot 1 + c cdot 2 2 = a cdot 2 + c cdot 1 deve ser igual à combinação das coordenadas correspondentes de a + c = 1 a + 2c = 2 2a + c = 2 e :
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos tentar resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de (a + 2c) - (a + c) = 2 - 1 a + 2c - a - c = 1 c = 1 e .
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:

Passo 5

Com a + 1 = 1 a = 0 , substituímos na primeira equação para encontrar 2a + c = 2 2 cdot 0 + 1 = 2 1 = 2 :
Agora, verificamos se esses valores satisfazem a terceira equação:
Isso não faz sentido, pois não é igual a . Portanto, não existe solução para esse sistema.

Passo 6

Como o sistema de equações não tem solução, concluímos que não existem valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente. Ou seja, o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .

Resposta

O vetor a + c = 1 a + 2c = 2 2a + c = 2 não é combinação linear dos vetores e . O sistema linear que tem como termo independente e que não possui solução é:

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