Sejam os vetores e do . Expressar vetor como combinação linear de e :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de combinações lineares e sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor para chegar em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinação linear. Queremos encontrar números (vamos chamar de , e ) tais que:
Substituindo os vetores na equação:
Passo 3
Agora, vamos decompor isso componente por componente. Isso significa que iremos igualar cada componente resultante aos componentes de .
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
2a - c = 2 Rightarrow c = 2a - 2
Agora, vamos substituir c na primeira equação:
- a + b - 2(2a - 2) = 0 - a + b - 4a + 4 = 0 -5a + b + 4 = 0 b = 5a - 4
Passo 5
Agora que temos b em termos de a, vamos substituir ambos b e c na terceira equação:
a + 2b = 3 a + 2(5a - 4) = 3 a + 10a - 8 = 3 11a - 8 = 3 11a = 11 a = 1
Passo 6
Com a = 1, vamos encontrar b e c utilizando as expressões que encontramos:
Para b:
b = 5a - 4 = 5(1) - 4 = 1
Para c:
c = 2a - 2 = 2(1) - 2 = 0
Resposta
Portanto, o vetor t = (0,2,3) pode ser expresso como uma combinação linear de u, v e w da seguinte forma: