Considere T: R^7 R^10 linear.
c) Se dim N(T)=5, então dim Im(T)=

Passo 1

Então, a gente tem uma aplicação linear que vai de um espaço de 7 dimensões ( ) para um de 10 dimensões ( ). A questão quer saber qual é a dimensão da imagem de ( ), sabendo que a dimensão do núcleo de ( ) é igual a 5. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem, que é uma ferramenta chave na Álgebra Linear para relacionar essas dimensões.

Passo 2

O Teorema do Núcleo-Imagem diz que a dimensão do domínio (a gente começa com dim R^7 = dim N(T) + dim Im(T) ) é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de . Em fórmulas, isso fica:

Passo 3

Sabemos que 7 = 5 + dim Im(T) é 7 e que é 5. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Agora, é só resolver essa equação pra achar dim Im(T) = 7 - 5 . Subtraindo 5 de ambos os lados:

Resposta

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