Considere
linear.
c) Se
, então
c) Se
Passo 1
Então, a gente tem uma aplicação linear
que vai de um espaço de 7 dimensões (
) para um de 10 dimensões (
). A questão quer saber qual é a dimensão da imagem de
(
), sabendo que a dimensão do núcleo de
(
) é igual a 5. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem, que é uma ferramenta chave na Álgebra Linear para relacionar essas dimensões.
Passo 2
O Teorema do Núcleo-Imagem diz que a dimensão do domínio (a gente começa com
) é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
. Em fórmulas, isso fica:
Passo 3
Sabemos que
é 7 e que
é 5. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Agora, é só resolver essa equação pra achar
. Subtraindo 5 de ambos os lados:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais:
e
Dada uma transformação linear
existe uma matriz A que a representa e viceversa.
a) Se , então
a) Se
Dada uma transformação linear
existe uma matriz A que a representa e viceversa.
c) Se , então
c) Se
Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo
nos casos:
.