Considere linear.
c) Se , então

Passo 1

Então, a gente tem uma aplicação linear que vai de um espaço de 7 dimensões ( ) para um de 10 dimensões ( ). A questão quer saber qual é a dimensão da imagem de ( ), sabendo que a dimensão do núcleo de ( ) é igual a 5. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo-Imagem, que é uma ferramenta chave na Álgebra Linear para relacionar essas dimensões.

Passo 2

O Teorema do Núcleo-Imagem diz que a dimensão do domínio (a gente começa com ) é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de . Em fórmulas, isso fica:

Passo 3

Sabemos que é 7 e que é 5. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Agora, é só resolver essa equação pra achar . Subtraindo 5 de ambos os lados:

Resposta

Exercícios relacionados

Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
e
Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
a) Se , então
Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
c) Se , então
Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos:
.