Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema homogêneo representado pela equação B = 2 & 1 & -1 & 3 1 & -4 & 2 & 1 0 & 2 & 4 & -1 , onde é a matriz dada:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço vetorial das soluções desse sistema. Isso significa que vamos encontrar todos os vetores que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para reduzir a matriz e identificar as variáveis livres.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de equações lineares correspondente à matriz 2x1 + x2 - x3 + 3x4 = 0 x1 - 4x2 + 2x3 + x4 = 0 0x1 + 2x2 + 4x3 - x4 = 0 :
Aqui, são as variáveis que queremos determinar.
Passo 3
Vamos formar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes (no caso, todos zeros):
As soluções do sistema podem ser expressas em função de x1 = -187135t x2 = 127t x3 = 415t x4 = t . Seja X = t -187135 127 415 1 , onde -187135 127 415 1 é um parâmetro livre. Então, temos:
Podemos escrever o vetor solução como:
Portanto, uma base para o subespaço vetorial das soluções é o conjunto formador pelo vetor: