Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo A X=0 nos casos:
B=(cccc2 & 1 & -1 & 3 1 & -4 & 2 & 1 0 & 2 & 4 & -1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema homogêneo representado pela equação B = 2 & 1 & -1 & 3 1 & -4 & 2 & 1 0 & 2 & 4 & -1 , onde é a matriz dada:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço vetorial das soluções desse sistema. Isso significa que vamos encontrar todos os vetores que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para reduzir a matriz e identificar as variáveis livres.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações lineares correspondente à matriz 2x1 + x2 - x3 + 3x4 = 0 x1 - 4x2 + 2x3 + x4 = 0 0x1 + 2x2 + 4x3 - x4 = 0 :
Aqui, são as variáveis que queremos determinar.

Passo 3

Vamos formar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes (no caso, todos zeros):
2 & 1 & -1 & 3 & | & 0 1 & -4 & 2 & 1 & | & 0 0 & 2 & 4 & -1 & | & 0
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz.

Passo 4

Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do R2 = R2 - 12 R1 na segunda linha. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 2 & 1 & -1 & 3 & | & 0 0 & -4.5 & 2.5 & -0.5 & | & 0 0 & 2 & 4 & -1 & | & 0 e subtrair da segunda linha:
Aplicando essa operação:

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do R3 = R3 + ( 2-4.5 times R2 ) na terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 & 1 & -1 & 3 & | & 0 0 & -4.5 & 2.5 & -0.5 & | & 0 0 & 0 & 5 & -43 & | & 0 e somamos à terceira linha:
Após essa operação, a matriz fica:

Passo 6

Agora, temos um sistema triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira equação:
5x3 - 43x4 = 0
Podemos resolver para x3 = 415x4 :

Passo 7

Substituímos -4.5x2 + 2.5(415x4) - 0.5x4 = 0 na segunda equação:
-4.5x2 + 1015x4 - 0.5x4 = 0 -4.5x2 + 23x4 - 12x4 = 0 -4.5x2 + (23 - 12)x4 = 0 -4.5x2 + 16x4 = 0
Simplificando:
x2 = 127x4
Resolvendo para :

Passo 8

Finalmente, substituímos 2x1 + 127x4 - 415x4 + 3x4 = 0 e 2x1 + (127 - 415 + 3)x4 = 0 2x1 + (5135 - 36135 + 405135)x4 = 0 2x1 + 374135x4 = 0 na primeira equação:
x1 = -374270x4 = -187135x4
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

As soluções do sistema podem ser expressas em função de x1 = -187135t x2 = 127t x3 = 415t x4 = t . Seja X = t -187135 127 415 1 , onde -187135 127 415 1 é um parâmetro livre. Então, temos:
Podemos escrever o vetor solução como:
Portanto, uma base para o subespaço vetorial das soluções é o conjunto formador pelo vetor:

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