Determine uma base para o subespaço vetorial das soluções sistema homogêneo nos casos:
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema homogêneo representado pela equação , onde é a matriz dada:
Nosso objetivo é encontrar uma base para o subespaço vetorial das soluções desse sistema. Isso significa que vamos encontrar todos os vetores que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss para reduzir a matriz e identificar as variáveis livres.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações lineares correspondente à matriz :
Aqui, são as variáveis que queremos determinar.

Passo 3

Vamos formar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes (no caso, todos zeros):
Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz.

Passo 4

Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do na segunda linha. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Aplicando essa operação:

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do na terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por e somamos à terceira linha:
Após essa operação, a matriz fica:

Passo 6

Agora, temos um sistema triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira equação:
Podemos resolver para :

Passo 7

Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 8

Finalmente, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

As soluções do sistema podem ser expressas em função de . Seja , onde é um parâmetro livre. Então, temos:
Podemos escrever o vetor solução como:
Portanto, uma base para o subespaço vetorial das soluções é o conjunto formador pelo vetor:

Exercícios relacionados

Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
c) Se , então
Considere linear.
c) Se , então
Sejam os vetores e do . Expressar vetor como combinação linear de e :
Obtenha uma base para o subespaço vetorial gerado por cada um dos seguintes conjuntos e daí determine sua dimensão.