Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir esses valores nas equações que definem
:
Simplificando:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e os somarmos, o resultado também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. Então:
Vamos somar
e
:
Agora, verificamos se esse vetor está em
:
Portanto, a soma
também satisfaz as condições para estar em
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Seja
pertencente a
e
um escalar. Então:
Multiplicando por
:
Assim, o vetor
também satisfaz as condições para estar em
.
Resposta
Portanto,
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Dada uma transformação linear
existe uma matriz A que a representa e viceversa.
a) Se , então
a) Se
Considere
linear.
a) Se , então
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c) Se , então
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