Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos substituir esses valores nas equações que definem :
Simplificando:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em e os somarmos, o resultado também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Portanto, a soma também satisfaz as condições para estar em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar , o resultado também deve estar em .
Seja pertencente a e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Assim, o vetor também satisfaz as condições para estar em .

Resposta

Portanto, é um subespaço vetorial de .

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a) Se , então
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