Mostre que os seguintes subconjuntos de R^4 são subespaços vetoriais:
W=(x, y, z, t): 3 x-y+2 t=0 e z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz três condições fundamentais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 3(0) - 0 + 2(0) = 0 e z = 0 . O vetor zero em 0 - 0 + 0 = 0 e 0 = 0 é . Vamos substituir esses valores nas equações que definem :
Simplificando:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se 3x1 - y1 + 2t1 = 0 e z1 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em 3x2 - y2 + 2t2 = 0 e z2 = 0 e os somarmos, o resultado também deve estar em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) .
Sejam 3(x1 + x2) - (y1 + y2) + 2(t1 + t2) = (3x1 - y1 + 2t1) + (3x2 - y2 + 2t2) = 0 + 0 = 0 e z1 + z2 = 0 + 0 = 0 pertencentes a . Então:
Vamos somar e :
Agora, verificamos se esse vetor está em :
Portanto, a soma também satisfaz as condições para estar em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se 3x - y + 2t = 0 e z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor em c(3x) - c(y) + 2c(t) = 3(cx) - (cy) + 2(ct) = c(3x - y + 2t) = c cdot 0 = 0 e multiplicarmos por um escalar c z = c cdot 0 = 0 , o resultado também deve estar em .
Seja pertencente a e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Assim, o vetor também satisfaz as condições para estar em .

Resposta

Portanto, é um subespaço vetorial de .

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