Considere
linear.
a) Se
, então
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear
. A gente precisa descobrir a dimensão da imagem de
(
) sabendo que a dimensão do núcleo de
(
) é zero. Vamos usar o teorema do posto e do núcleo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
A dimensão do núcleo,
, nos diz quantos vetores linearmente independentes estão no núcleo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a imagem de
. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são resultados de
aplicados a vetores em
. Ou seja:
A dimensão da imagem,
, é chamada de posto de
e nos indica quantos vetores linearmente independentes existem na imagem.
Passo 4
O teorema do posto e do núcleo que vamos usar relaciona essas dimensões. Ele diz que:
Neste caso, sabemos que
e que
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula do teorema:
Isso simplifica para:
Resposta
Então,
.
Exercícios relacionados
Dada uma transformação linear
existe uma matriz A que a representa e viceversa.
b) , então
b)
Sejam
,
e
.
Qual a dimensão do subespaço gerado por e
, ou seja, do conjunto das combinações lineares de
e
.
Descreva geometricamente o subespaço gerado por e
Qual a dimensão do subespaço gerado por
Descreva geometricamente o subespaço gerado por
Dada uma transformação linear
existe uma matriz A que a representa e viceversa.
a) Se , então
a) Se
Mostre que os seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais:
e