Considere T: R^7 R^10 linear.
a) Se dim N(T)=0, então dim Im(T)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear . A gente precisa descobrir a dimensão da imagem de ( ) sabendo que a dimensão do núcleo de ( ) é zero. Vamos usar o teorema do posto e do núcleo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de N(T) = v in R^7 mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
A dimensão do núcleo, , nos diz quantos vetores linearmente independentes estão no núcleo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a imagem de Im(T) = T(v) mid v in R^7 . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que são resultados de aplicados a vetores em . Ou seja:
A dimensão da imagem, , é chamada de posto de e nos indica quantos vetores linearmente independentes existem na imagem.

Passo 4

O teorema do posto e do núcleo que vamos usar relaciona essas dimensões. Ele diz que:
dim R^7 = dim N(T) + dim Im(T)
Neste caso, sabemos que e que .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do teorema:
7 = 0 + dim Im(T)
Isso simplifica para:
dim Im(T) = 7

Resposta

Então, .

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