Considere linear.
a) Se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear . A gente precisa descobrir a dimensão da imagem de ( ) sabendo que a dimensão do núcleo de ( ) é zero. Vamos usar o teorema do posto e do núcleo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
A dimensão do núcleo, , nos diz quantos vetores linearmente independentes estão no núcleo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a imagem de . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que são resultados de aplicados a vetores em . Ou seja:
A dimensão da imagem, , é chamada de posto de e nos indica quantos vetores linearmente independentes existem na imagem.

Passo 4

O teorema do posto e do núcleo que vamos usar relaciona essas dimensões. Ele diz que:
Neste caso, sabemos que e que .

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula do teorema:
Isso simplifica para:

Resposta

Então, .

Exercícios relacionados

Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
b) , então
Sejam , e .
Qual a dimensão do subespaço gerado por e , ou seja, do conjunto das combinações lineares de e .
Descreva geometricamente o subespaço gerado por e
Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
a) Se , então
Mostre que os seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais:
e