Sejam , e .
Qual a dimensão do subespaço gerado por e , ou seja, do conjunto das combinações lineares de e .
Descreva geometricamente o subespaço gerado por e
Passo 1
Nós temos três vetores no espaço tridimensional: , e . O objetivo é descobrir qual é a dimensão do subespaço gerado por esses vetores, ou seja, todas as combinações lineares que podemos fazer com eles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e o posto de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes ou não. Para isso, vamos organizar esses vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
Passo 3
Agora, vamos calcular o posto dessa matriz, que é o número de colunas que são linearmente independentes. Isso nos dará a dimensão do subespaço gerado pelos vetores. Vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples.
Passo 4
Aplicando a eliminação de Gauss:
Mantemos a primeira linha como está.
Subtraímos metade da primeira linha da segunda linha.
Adicionamos três quartos da primeira linha à terceira linha.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Observamos que a segunda linha toda se tornou zero, enquanto as outras duas linhas têm elementos diferentes de zero. Isso significa que o posto da matriz é 2, ou seja, há dois vetores que são linearmente independentes.
Passo 6
Como o posto da matriz é 2, a dimensão do subespaço gerado por e é 2. Isso significa que esses vetores não preenchem todo o espaço tridimensional, mas sim um subespaço de dimensão 2.
Passo 7
Geometricamente, um subespaço de dimensão 2 no espaço tridimensional é um plano que passa pela origem. Portanto, o conjunto das combinações lineares de e forma um plano no .
Resposta
A dimensão do subespaço gerado por e é 2, e esse subespaço é um plano no espaço tridimensional.