b) Determine o subespaço núcleo de e a sua dimensão.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que vai de para , definida por:
O que queremos encontrar é o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores que quando aplicamos resultam no vetor zero . Além disso, vamos determinar a dimensão desse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre transformações lineares e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos definir matematicamente o núcleo de :
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Começamos pela última equação:
z = 0
Isso nos dá o valor de y - 4(0) = y = 0 .
Substituímos x - 3(0) - 2(0) = x = 0 na segunda equação:
Agora sabemos que .
Finalmente, substituímos e na primeira equação:
Portanto, .
Passo 4
Após resolver o sistema, chegamos às seguintes soluções:
x = 0, y = 0, z = 0
Isso significa que o único vetor que está no núcleo de é o vetor zero .