Considere T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z)
b) Determine o subespaço núcleo de T e a sua dimensão.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, , y - 4z, , z) que vai de para , definida por:
O que queremos encontrar é o núcleo dessa transformação, ou seja, todos os vetores que quando aplicamos resultam no vetor zero . Além disso, vamos determinar a dimensão desse núcleo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre transformações lineares e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir matematicamente o núcleo de Núc<=o(T) = , (x, y, z) in R^3 mid T(x, y, z) = (0, 0, 0) , :
x - 3y - 2z = 0 y - 4z = 0 z = 0 ú
Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
  1. Começamos pela última equação:
    z = 0
    Isso nos dá o valor de y - 4(0) = y = 0 .
  2. Substituímos x - 3(0) - 2(0) = x = 0 na segunda equação:
    Agora sabemos que .
  3. Finalmente, substituímos e na primeira equação:
    Portanto, .

Passo 4

Após resolver o sistema, chegamos às seguintes soluções:
x = 0, y = 0, z = 0
Isso significa que o único vetor que está no núcleo de é o vetor zero .

Resposta

O núcleo de é o conjunto e sua dimensão é 0.

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