onde alpha e beta são as Bases canônicas de R^2 e M(2,2), respectivamente.
a) Determine os vetores v in R^2 tais que T(v)=I2;
b) Determine T(3,-1).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que temos aqui é uma transformação linear definida por uma matriz em relação às bases canônicas. O conteúdo principal aqui é transformações lineares e matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformação linear e resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): Determinar os vetores [T]beta^alpha = 1 & -2 -1 & 0 2 & 1 1 & -1 tais que x y , onde é a matriz identidade 2x2.
Primeiro, precisamos entender como a matriz da transformação atua sobre um vetor . A matriz dada é:
Essa matriz tem 4 linhas e 2 colunas porque transforma vetores de em matrizes . Vamos representar como .
Passo 3
Aplicando a transformação x y no vetor T(v) = [T]beta^alpha cdot v = 1 & -2 -1 & 0 2 & 1 1 & -1 x y = 1x - 2y -1x + 0y 2x + 1y 1x - 1y = x - 2y -x 2x + y x - y , obtemos:
I2 = 1 & 0 0 & 1 implies 1 0 0 1
Queremos que isso seja igual à matriz identidade , que em vetor coluna (já que estamos trabalhando com matrizes como vetores) é:
Passo 4
Agora, igualamos as componentes:
x - 2y = 1 -x = 0 2x + y = 0 x - y = 1
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Aqui percebemos que o sistema não tem solução, ou seja, não existe nenhum vetor tal que .
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): Determinar [T]beta^alpha = 1 & -2 -1 & 0 2 & 1 1 & -1 .