Considere dada por:
c) Determine o subespaço imagem de e a sua dimensão.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o subespaço imagem da transformação linear definida por . Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagens de transformações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja,
Nosso objetivo é descrever esse conjunto e determinar sua dimensão.

Passo 3

Vamos expressar a transformação de forma mais clara:
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear das variáveis e :
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de é uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Para determinar a imagem de , precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base para esse espaço. Portanto, a imagem de é todo o espaço .

Resposta

A imagem de é o espaço e sua dimensão é 3.

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear definida por
onde e são as Bases canônicas de e , respectivamente.
a) Determine os vetores tais que ;
b) Determine .
Considere dada por:
b) Determine o subespaço núcleo de e a sua dimensão.
Use a definição de transformação linear para justificar por que tal que e não é transformação linear.
Remova o termo da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.