c) Determine o subespaço imagem de e a sua dimensão.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o subespaço imagem da transformação linear definida por . Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagens de transformações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja,
Nosso objetivo é descrever esse conjunto e determinar sua dimensão.
Passo 3
Vamos expressar a transformação de forma mais clara:
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear das variáveis e :
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de é uma combinação linear dos vetores , e .
Passo 4
Para determinar a imagem de , precisamos verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base para esse espaço. Portanto, a imagem de é todo o espaço .