Considere T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z)
c) Determine o subespaço imagem de T e a sua dimensão.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o subespaço imagem da transformação linear definida por . Além disso, queremos saber qual é a dimensão desse subespaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como imagens de transformações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de Im(T) = T(x, y, z) mid (x, y, z) in R^3 , denotada por , é o conjunto de todos os vetores em que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em . Ou seja,
Nosso objetivo é descrever esse conjunto e determinar sua dimensão.

Passo 3

Vamos expressar a transformação T(x, y, z) = (x - 3y - 2z, y - 4z, z) de forma mais clara:
T(x, y, z) = x cdot (1, 0, 0) + y cdot (-3, 1, 0) + z cdot (-2, -4, 1)
Isso pode ser reescrito como uma combinação linear das variáveis e :
Isso mostra que qualquer vetor na imagem de é uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 4

Para determinar a imagem de A = 1 & -3 & -2 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1 , precisamos verificar se os vetores det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-4) cdot 0) - (-3) cdot (0 cdot 1 - (-4) cdot 0) + (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 cdot 1 + 3 cdot 0 - 2 cdot 0 = 1 neq 0 , e são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para a imagem.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz para verificar a independência linear:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como temos três vetores linearmente independentes em , eles formam uma base para esse espaço. Portanto, a imagem de é todo o espaço .

Resposta

A imagem de é o espaço e sua dimensão é 3.

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