Use a definição de transformação linear para justificar por que tal que e não é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de transformação linear e mostrar que a função que leva:
não é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como usar suas propriedades para justificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escala:
Ou seja, a transformação deve respeitar essas operações básicas.

Passo 3

Vamos verificar se a função respeita a propriedade da adição. Pegue dois vetores para somar, por exemplo, e . A soma desses vetores é:
Agora, vamos aplicar nessa soma:
Por outro lado, vamos somar as imagens individualmente:
Comparando os dois resultados:
Isso já mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Além disso, podemos conferir a propriedade da escala. Vamos pegar um vetor, por exemplo, , e um escalar . Aplicando antes e depois da escala:
No entanto, não foi definido para , mas sabemos que se fosse linear, teríamos:
Como não temos definido como , isso também indica que não está respeitando a propriedade da escala.

Passo 5

Com base nessas verificações, ficou claro que a função não preserva as operações de adição e escala, o que significa que ela não atende aos critérios de uma transformação linear.

Resposta

Portanto, não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de adição e escala exigidas para transformações lineares.

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Considere dada por:
c) Determine o subespaço imagem de e a sua dimensão.
Seja a transformação linear definida por
onde e são as Bases canônicas de e , respectivamente.
a) Determine os vetores tais que ;
b) Determine .
Remova o termo da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Seja a transformação linear dada por . Ou seja, transforma um vetor do em um polinômio na variável , de grau menor ou igual a um. Calcule . A seguir, determine o núcleo e a imagem de .