Use a definição de transformação linear para justificar por que
tal que
e
não é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de transformação linear e mostrar que a função
que leva:
não é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como usar suas propriedades para justificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição:
- Escala:
Ou seja, a transformação deve respeitar essas operações básicas.
Passo 3
Vamos verificar se a função
respeita a propriedade da adição. Pegue dois vetores para somar, por exemplo,
e
. A soma desses vetores é:
Agora, vamos aplicar
nessa soma:
Por outro lado, vamos somar as imagens individualmente:
Comparando os dois resultados:
Isso já mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Além disso, podemos conferir a propriedade da escala. Vamos pegar um vetor, por exemplo,
, e um escalar
. Aplicando
antes e depois da escala:
No entanto,
não foi definido para
, mas sabemos que se fosse linear, teríamos:
Como não temos
definido como
, isso também indica que
não está respeitando a propriedade da escala.
Passo 5
Com base nessas verificações, ficou claro que a função
não preserva as operações de adição e escala, o que significa que ela não atende aos critérios de uma transformação linear.
Resposta
Portanto,
não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de adição e escala exigidas para transformações lineares.