Use a definição de transformação linear para justificar por que T: R^3 R^3 tal que T(1,1,1)=(1,2,3), T(1,2,3)=(1,4,9) e T(2,3,4)=(1,8,27) não é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a definição de transformação linear e mostrar que a função que leva:
não é uma transformação linear. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como usar suas propriedades para justificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escala:
Ou seja, a transformação deve respeitar essas operações básicas.

Passo 3

Vamos verificar se a função (1,1,1) + (1,2,3) = (2,3,4) respeita a propriedade da adição. Pegue dois vetores para somar, por exemplo, T(2,3,4) = (1,8,27) e T(1,1,1) + T(1,2,3) = (1,2,3) + (1,4,9) = (2,6,12) . A soma desses vetores é:
T((1,1,1) + (1,2,3)) = (1,8,27) neq (2,6,12) = T(1,1,1) + T(1,2,3)
Agora, vamos aplicar nessa soma:
Por outro lado, vamos somar as imagens individualmente:
Comparando os dois resultados:
Isso já mostra que a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Além disso, podemos conferir a propriedade da escala. Vamos pegar um vetor, por exemplo, T(2 cdot (1,1,1)) = T(2,2,2) , e um escalar 2T(1,1,1) = 2 cdot (1,2,3) = (2,4,6) . Aplicando antes e depois da escala:
No entanto, não foi definido para , mas sabemos que se fosse linear, teríamos:
Como não temos definido como , isso também indica que não está respeitando a propriedade da escala.

Passo 5

Com base nessas verificações, ficou claro que a função não preserva as operações de adição e escala, o que significa que ela não atende aos critérios de uma transformação linear.

Resposta

Portanto, não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de adição e escala exigidas para transformações lineares.

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