Remova o termo da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica:
O objetivo é eliminar o termo dessa equação usando uma rotação de eixos e, assim, obter a equação reduzida da cônica. Para isso, vamos usar o método de rotação de coordenadas, que envolve encontrar um ângulo de rotação que faça o termo desaparecer.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ângulo que vai eliminar o termo . A fórmula para determinar esse ângulo é:
Onde:
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora que temos o ângulo de rotação , vamos usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar as variáveis e em e :
Com , sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de e na equação original e simplificar para eliminar o termo .
Depois de substituir e simplificar, a nova equação ficará na forma:
Onde e são os novos coeficientes após a rotação, calculados da seguinte forma:
Calculando e :

Resposta

Após a rotação dos eixos em , a equação reduzida da cônica é:

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Use a definição de transformação linear para justificar por que tal que e não é transformação linear.
Considere dada por:
c) Determine o subespaço imagem de e a sua dimensão.
Seja a transformação linear dada por . Ou seja, transforma um vetor do em um polinômio na variável , de grau menor ou igual a um. Calcule . A seguir, determine o núcleo e a imagem de .
Seja a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .