Remova o termo x y da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
31 x^2+10 raiz3 x y+21 y^2=144

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica:
31x^2 + 10 raiz3xy + 21y^2 = 144
O objetivo é eliminar o termo dessa equação usando uma rotação de eixos e, assim, obter a equação reduzida da cônica. Para isso, vamos usar o método de rotação de coordenadas, que envolve encontrar um ângulo de rotação que faça o termo desaparecer.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ângulo tan(2theta) = BA - C que vai eliminar o termo tan(2theta) = 10raiz331 - 21 = 10raiz310 = raiz3 . A fórmula para determinar esse ângulo é:
2theta = 60°
Onde:
  • theta = 30°
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora que temos o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , vamos usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar as variáveis y = x'sintheta + y'costheta e cos(30°) = raiz32 e sin(30°) = 12 em x = x'(raiz32) - y'(12) e y = x'(12) + y'(raiz32) :
Com , sabemos que:
Substituindo esses valores:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de A' x'^2 + C' y'^2 = 144 e A' = Acos^2theta + Bcosthetasintheta + Csin^2theta na equação original e simplificar para eliminar o termo C' = Asin^2theta - Bcosthetasintheta + Ccos^2theta .
Depois de substituir e simplificar, a nova equação ficará na forma:
A' = 31(raiz32)^2 + 10raiz3(raiz32)(12) + 21(12)^2 = 934 + 152 + 214 = 93 + 30 + 214 = 1444 = 36
Onde C' = 31(12)^2 - 10raiz3(raiz32)(12) + 21(raiz32)^2 = 314 - 152 + 634 = 31 - 30 + 634 = 644 = 16 e são os novos coeficientes após a rotação, calculados da seguinte forma:
Calculando e :

Resposta

Após a rotação dos eixos em 36 x'^2 + 16 y'^2 = 144 , a equação reduzida da cônica é:

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