Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica:
O objetivo é eliminar o termo
dessa equação usando uma rotação de eixos e, assim, obter a equação reduzida da cônica. Para isso, vamos usar o método de rotação de coordenadas, que envolve encontrar um ângulo de rotação que faça o termo
desaparecer.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ângulo
que vai eliminar o termo
. A fórmula para determinar esse ângulo é:
Onde:
Substituindo os valores:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 3
Agora que temos o ângulo de rotação
, vamos usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar as variáveis
e
em
e
:
Com
, sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
na equação original e simplificar para eliminar o termo
.
Depois de substituir e simplificar, a nova equação ficará na forma:
Onde
e
são os novos coeficientes após a rotação, calculados da seguinte forma:
Calculando
e
:
Resposta
Após a rotação dos eixos em
, a equação reduzida da cônica é:
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Use a definição de transformação linear para justificar por que
tal que
e
não é transformação linear.
Considere
dada por:
c) Determine o subespaço imagem de
e a sua dimensão.
Seja a transformação linear
dada por
. Ou seja,
transforma um vetor
do
em um polinômio na variável
, de grau menor ou igual a um. Calcule
. A seguir, determine o núcleo e a imagem de
.
Seja
a hipérbole dada pela equação
Encontre a equação reduzida da parábola
definida pelas seguintes propriedades:
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole , sob o eixo transverso, mais próximo do ponto
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical .
(P.1) O foco da parábola é o vértice da hipérbole
(P.2) A diretriz da parábola é a reta vertical