Remova o termo
da equação da cônica abaixo por uma rotação de eixos conveniente e obtenha a equação reduzida da cônica.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma cônica:
O objetivo é eliminar o termo
dessa equação usando uma rotação de eixos e, assim, obter a equação reduzida da cônica. Para isso, vamos usar o método de rotação de coordenadas, que envolve encontrar um ângulo de rotação que faça o termo
desaparecer.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o ângulo
que vai eliminar o termo
. A fórmula para determinar esse ângulo é:
Onde:
Substituindo os valores:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 3
Agora que temos o ângulo de rotação
, vamos usar as fórmulas de rotação de coordenadas para transformar as variáveis
e
em
e
:
Com
, sabemos que:
Substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
na equação original e simplificar para eliminar o termo
.
Depois de substituir e simplificar, a nova equação ficará na forma:
Onde
e
são os novos coeficientes após a rotação, calculados da seguinte forma:
Calculando
e
:
Resposta
Após a rotação dos eixos em
, a equação reduzida da cônica é: