De que forma é possível utilizar o produto escalar triplo, a . (b × c), para verificar que os vetores u = i + 5j - 2k, v = 3i - j e w = 5i + 9j - 4k são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o produto escalar triplo, que é representado por , para verificar se os vetores , e são coplanares. Isso significa que a gente precisa ver se esses vetores estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar triplo. Esse produto, que é , dá um número que nos informa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Se esse volume for zero, então os vetores são coplanares, ou seja, eles estão no mesmo plano.

Passo 3

Para aplicar isso, precisamos calcular o produto escalar triplo . Vamos começar calculando o produto vetorial .

Passo 4

Vamos montar a matriz para calcular o produto vetorial:
Calculando os determinantes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Resposta

Como o produto escalar triplo resultou em 0, concluímos que os vetores u, v e w são coplanares.

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