Considere T uma transformação linear cuja imagem é gerada por
Im T=[(1,0,1) ;(1,1,0) ;(-1,0,-1) ;(0,-1,1)]
Determine:
© Uma base para o subespaço Ker(T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma questão de Álgebra Linear que pede para encontrar uma base para o subespaço , ou seja, o núcleo da transformação linear . A gente vai precisar entender o que é uma transformação linear, imagem e núcleo, e usar um pouco de sistemas lineares para resolver. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de Im T = (1,0,1), (1,1,0), (-1,0,-1), (0,-1,1) . A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor do espaço de partida. No seu caso, a imagem é gerada pelos vetores:
Esses vetores podem gerar um subespaço de .

Passo 3

Vamos descobrir a dimensão da imagem de v1 = (1,0,1), v2 = (1,1,0), v3 = (-1,0,-1), v4 = (0,-1,1) , que é igual ao posto de . Para isso, precisamos verificar se os vetores que geram a imagem são linearmente independentes. Se eles não forem, vamos encontrar uma base menor.
Analisando os vetores:
Perceba que é igual a , ou seja, . Isso já mostra que há dependência linear, pois um vetor pode ser escrito como múltiplo de outro.

Passo 4

Como a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v4 = (0,0,0) é dependente de a + b = 0 0 + b - c = 0 a + 0 + c = 0 , podemos ignorar na hora de formar a base da imagem. Agora, vamos ver se , e são independentes.
Queremos saber se existe uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero:
Montando as equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda:
  • Da terceira: (confere)
Isso mostra que há infinitas soluções, então , e também são dependentes.

Passo 5

Vamos então considerar apenas a cdot v1 + b cdot v2 = (0,0,0) e a + b = 0 0 + b = 0 a + 0 = 0 . Vamos verificar se eles são linearmente independentes:
Isso resulta em:
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda:
  • Da primeira: (confere)
Como a única solução é trivial ( ), e são linearmente independentes. Portanto, a dimensão da imagem de é 2.

Passo 6

Agora vamos usar o Teorema do Posto e Núcleo que diz:
dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(Domínio) í
Assumindo que 2 + dim(Ker(T)) = 4 implies dim(Ker(T)) = 2 é uma transformação de para , temos:
Então, o núcleo de é um subespaço de com dimensão 2.

Passo 7

Para encontrar uma base para A = 1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1 1 & 0 & -1 & 1 , precisamos resolver o sistema x1 + x2 - x3 = 0 x2 - x4 = 0 x1 - x3 + x4 = 0 , onde é a matriz cujas colunas são os vetores que geram a imagem:
Isso resulta no seguinte sistema:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação: x1 = t - s, x4 = s
  2. Substituindo na primeira: x = t - s s t s = s -1 1 0 1 + t 1 0 1 0
  3. Substituindo na terceira: (sem nova informação)
Portanto, as variáveis e são livres. Vamos chamar e . Então:
O vetor solução fica:

Resposta

Uma base para o subespaço , (-1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 0) , é:

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