Determine uma equação da elipse de focos
e
e eixo maior medindo 8 .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a pergunta está nos pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos em
e
, e que o eixo maior da elipse mede 8 unidades. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Vamos lembrar que em uma elipse, o eixo maior é o maior diâmetro que passa pelos dois focos. O comprimento do eixo maior é
, onde
é o semi-eixo maior. Como o eixo maior mede 8, temos:
Então, o semi-eixo maior
é igual a 4.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar o valor de
. Os focos estão em
e
, então a distância entre eles é:
Portanto,
.
Passo 4
Em uma elipse, os valores de
,
e
estão relacionados pela fórmula:
Queremos encontrar
, o semi-eixo menor. Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem com os eixos alinhados aos eixos coordenados:
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da elipse é: