Determine uma equação da elipse de focos F1(-3,0) e F2(3,0) e eixo maior medindo 8 .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a pergunta está nos pedindo. A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem dois focos em e , e que o eixo maior da elipse mede 8 unidades. Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Vamos lembrar que em uma elipse, o eixo maior é o maior diâmetro que passa pelos dois focos. O comprimento do eixo maior é 2a = 8 implies a = 4 , onde é o semi-eixo maior. Como o eixo maior mede 8, temos:
Então, o semi-eixo maior é igual a 4.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar o valor de 2c = 3 - (-3) = 6 implies c = 3 . Os focos estão em e , então a distância entre eles é:
Portanto, .

Passo 4

Em uma elipse, os valores de c^2 = a^2 - b^2 , b^2 = a^2 - c^2 e b^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 implies b = raiz7 estão relacionados pela fórmula:
Queremos encontrar , o semi-eixo menor. Rearranjando a fórmula:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 5

Agora que temos x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e x^216 + y^27 = 1 , podemos escrever a equação padrão da elipse centrada na origem com os eixos alinhados aos eixos coordenados:
Substituindo e :

Resposta

A equação da elipse é:
x^216 + y^27 = 1

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