Considere T: V W uma TL. Para cada pergunta, escolha uma das opções:
i) A definição de N(T) é:
(a) w in W mid T(0)=w
(b) w in W mid T(w)=0
© V in V mid T(v)=0
(d) V in V mid T(0)=v

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear e precisa descobrir qual das opções (a, b, c, d) define corretamente o núcleo de , que é . Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e o que é o núcleo dela.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e T(cu) = cT(u) em e escalar , temos:

Passo 3

Agora, o núcleo de N(T) = v in V mid T(v) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Matemáticamente, isso é escrito como:
Ou seja, estamos procurando todos os em que satisfazem a condição .

Passo 4

Vamos analisar as opções:
  • Opção (a):
    • Aqui, está em , mas o núcleo deve ser um subconjunto de .
  • Opção (b):
    • Novamente, está em , mas o núcleo deve estar em .
  • Opção ©:
    • Aqui parece ter uma pequena confusão na notação, mas a ideia é correta: estamos buscando vetores em que são mapeados para .
  • Opção (d):
    • Essa definição está errada porque está dizendo que é igual a , o que não faz sentido para o núcleo.

Passo 5

Comparando com a definição correta que vimos no Passo 3, a opção © está mais próxima, apesar da notação um pouco confusa. Ela captura a ideia de que estamos considerando vetores em que são mapeados para o zero em .

Resposta

A opção correta é a © .

Exercícios relacionados