Use o método de Gauss para determinar uma condição envolvendo a, b, c de modo que o sistema linear tenha solução nos casos: lx+y+z+t=a 5 y+2 z+4 t=b 3 x-2 y+z-t=c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares. Nosso objetivo aqui é encontrar uma condição envolvendo para que esse sistema tenha solução. Basicamente, vamos manipular as equações para descobrir quando elas não entram em conflito umas com as outras.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Nosso sistema é:
x + y + z + t = a 5y + 2z + 4t = b 3x - 2y + z - t = c
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 3 & -2 & 1 & -1 & | & c

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linha para simplificar essa matriz. A primeira coisa que podemos fazer é eliminar o Linha 3 = Linha 3 - 3 times Linha 1 da terceira equação. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 0 & -5 & -2 & -4 & | & c - 3a
Isso resulta em:

Passo 4

Observamos que a segunda e a terceira linhas agora têm coeficientes correspondentes. Vamos somar a segunda linha com a terceira linha para eliminar Linha 3 = Linha 2 + Linha 3 :
1 & 1 & 1 & 1 & | & a 0 & 5 & 2 & 4 & | & b 0 & 0 & 0 & 0 & | & b + c - 3a
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, temos uma situação interessante na terceira linha. A equação correspondente é:
0x + 0y + 0z + 0t = b + c - 3a
Para que o sistema tenha solução, essa equação não pode ser uma contradição. Ou seja, o lado direito deve ser igual a zero:
b + c - 3a = 0

Resposta

A condição para que o sistema tenha solução é:
b + c - 3a = 0

Exercícios relacionados