Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e espaços solução. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de redução de matriz, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e identificar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Como o sistema é homogêneo (), a última coluna da matriz aumentada será de zeros. Então, temos:
Passo 3
O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linha:
Linha 2:
Linha 3:
Ficando assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Observamos que a segunda linha tem um 2 na segunda posição, podemos dividi-la por 2 para facilitar:
Em seguida, vamos eliminar o 1 na terceira linha, segunda coluna, subtraindo a segunda linha da terceira:
Passo 5
Podemos simplificar ainda mais dividindo a terceira linha por 0.5:
Agora, temos a forma escalonada reduzida, e podemos escrever as equações correspondentes:
Passo 6
Vamos resolver o sistema. Da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:
Passo 7
Vamos chamar , onde é um parâmetro livre (pode ser qualquer número real). Então, temos:
Resposta
O conjunto de geradores para o espaço solução é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Ou seja,