Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e espaços solução. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de redução de matriz, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e identificar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Como o sistema é homogêneo ( ), a última coluna da matriz aumentada será de zeros. Então, temos:

Passo 3

O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linha:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Ficando assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Observamos que a segunda linha tem um 2 na segunda posição, podemos dividi-la por 2 para facilitar:
Em seguida, vamos eliminar o 1 na terceira linha, segunda coluna, subtraindo a segunda linha da terceira:

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais dividindo a terceira linha por 0.5:
Agora, temos a forma escalonada reduzida, e podemos escrever as equações correspondentes:

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da terceira equação, já sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
E na primeira equação:

Passo 7

Vamos chamar , onde é um parâmetro livre (pode ser qualquer número real). Então, temos:

Resposta

O conjunto de geradores para o espaço solução é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Ou seja,

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Considere uma TL. Para cada pergunta, escolha uma das opções:
i) A definição de é:
(a)
(b)
©
(d)
Use o método de Gauss para determinar uma condição envolvendo de modo que o sistema linear tenha solução nos casos:
Sejam , e .
Qual a dimensão do subespaço gerado por e , ou seja, do conjunto das combinações lineares de e .
Descreva geometricamente o subespaço gerado por e
Dada uma transformação linear existe uma matriz A que a representa e viceversa.
b) , então