Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, em que
A=[llll 1 & 0 & 1 & 0 1 & 2 & 3 & 1 2 & 1 & 3 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e espaços solução. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de redução de matriz, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e identificar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Como o sistema é homogêneo ( 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 1 & 2 & 3 & 1 & | & 0 2 & 1 & 3 & 1 & | & 0 ), a última coluna da matriz aumentada será de zeros. Então, temos:

Passo 3

O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linha:
  • Linha 2: 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 2 & 2 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0
  • Linha 3:
Ficando assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Observamos que a segunda linha tem um 2 na segunda posição, podemos dividi-la por 2 para facilitar:
1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0.5 & | & 0 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0
Em seguida, vamos eliminar o 1 na terceira linha, segunda coluna, subtraindo a segunda linha da terceira:
1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0.5 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0.5 & | & 0

Passo 5

Podemos simplificar ainda mais dividindo a terceira linha por 0.5:
1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0.5 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0
Agora, temos a forma escalonada reduzida, e podemos escrever as equações correspondentes:
x1 + x3 = 0 x2 + x3 + 0.5x4 = 0 x4 = 0

Passo 6

Vamos resolver o sistema. Da terceira equação, já sabemos que x2 + x3 = 0 implies x2 = -x3 .
Substituindo x1 + x3 = 0 implies x1 = -x3 na segunda equação:
E na primeira equação:

Passo 7

Vamos chamar x1 = -t x2 = -t x3 = t x4 = 0 , onde é um parâmetro livre (pode ser qualquer número real). Então, temos:

Resposta

O conjunto de geradores para o espaço solução é formado por todos os vetores da forma -1 -1 1 0 , onde -1 -1 1 0 é um número real. Ou seja,

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