Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo , onde é uma matriz de 3 linhas e 4 colunas. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e espaços solução. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de redução de matriz, como a eliminação de Gauss, para simplificar o sistema e identificar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Como o sistema é homogêneo ( 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 1 & 2 & 3 & 1 & | & 0 2 & 1 & 3 & 1 & | & 0 ), a última coluna da matriz aumentada será de zeros. Então, temos:
Passo 3
O próximo passo é usar a eliminação de Gauss para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linha:
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Observamos que a segunda linha tem um 2 na segunda posição, podemos dividi-la por 2 para facilitar: