Dada a função
e a tabela:
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2.25 | 2.5 | 2.75 |
---|---|---|---|
|
6.930 | 8.726 | 10.87 |
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o polinômio de interpolação usando 3 pontos da tabela fornecida, utilizando a forma de Newton. Isso está dentro do conteúdo de interpolação polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Newton passo a passo usando as diferenças divididas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os 3 pontos que vamos usar para a interpolação. A tabela nos dá os valores de
e
:
-
, -
, -
,
Esses são os pontos que vamos usar para construir o polinômio.
Passo 3
Vamos calcular as diferenças divididas necessárias para a forma de Newton. A ideia é encontrar coeficientes que multiplicarão os termos do polinômio.
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Agora, vamos calcular a diferença dividida de segunda ordem:
Passo 4
Com esses coeficientes, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral para 3 pontos é:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Vamos simplificar esse polinômio para ter uma expressão mais limpa:
Primeiro, expandimos o segundo termo:
Agora, expandimos o terceiro termo:
Agora, somamos todos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
O polinômio de interpolação de Newton sobre os 3 pontos é:
Exercícios relacionados
Dada a função tabelada:
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0 | 1 | 1.5 | 2.5 | 3.0 |
---|---|---|---|---|---|
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1.0 | 0.5 | 0.4 | 0.286 | 0.25 |
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de
)
Considere a tabela:
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1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 6 | 24 | 60 |
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Mostre que a interpolação de um polinômio de grau
sobre
pontos,
, é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).
Dada a tabela:
|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 |
---|---|---|---|---|---|
|
-2.303 | -1.609 | -1.204 | -0.916 | -0.693 |
(b) Qual deve ser o valor de
se queremos obter
com três casas decimais corretas, para
, através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos
igualmente espaçados de
?