Dada a função e a tabela:
2.25 2.5 2.75
6.930 8.726 10.87
(a) Calcular o polinômio de interpolação sobre 3 pontos usando a forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o polinômio de interpolação usando 3 pontos da tabela fornecida, utilizando a forma de Newton. Isso está dentro do conteúdo de interpolação polinomial, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir o polinômio de Newton passo a passo usando as diferenças divididas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os 3 pontos que vamos usar para a interpolação. A tabela nos dá os valores de e :
  • ,
  • ,
  • ,
Esses são os pontos que vamos usar para construir o polinômio.

Passo 3

Vamos calcular as diferenças divididas necessárias para a forma de Newton. A ideia é encontrar coeficientes que multiplicarão os termos do polinômio.
Primeiro, calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
Agora, vamos calcular a diferença dividida de segunda ordem:

Passo 4

Com esses coeficientes, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral para 3 pontos é:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Vamos simplificar esse polinômio para ter uma expressão mais limpa:
Primeiro, expandimos o segundo termo:
Agora, expandimos o terceiro termo:
Agora, somamos todos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

O polinômio de interpolação de Newton sobre os 3 pontos é:

Exercícios relacionados

Dada a função tabelada:
0 1 1.5 2.5 3.0
1.0 0.5 0.4 0.286 0.25
(b) Determinar o polinômio de interpolação usando a fórmula de Newton sobre três pontos (interpolação quadrática). (Use os pontos mais próximos de )
Considere a tabela:
1 3 4 5
0 6 24 60
(a) Determine o polinômio de interpolação, na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
Mostre que a interpolação de um polinômio de grau sobre pontos, , é exata. (Dica: use a fórmula para o erro de interpolação).
Dada a tabela:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-2.303 -1.609 -1.204 -0.916 -0.693
(b) Qual deve ser o valor de se queremos obter com três casas decimais corretas, para , através de interpolação linear, usando uma tabela para argumentos igualmente espaçados de ?