Mostre que:
é um subespaço vetorial de
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para isso, vamos verificar três coisas: se o zero vetor está em U, se U é fechado sob adição e se U é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o zero vetor está em U. O zero vetor em
é
. Vamos conferir as condições:
-
✔️ -
✔️
Então, o zero vetor está em U.
Passo 3
Agora, vamos checar se U é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores qualquer em U, a soma deles também deve estar em U.
Sejam e
em U. Então:
Sejam
-
e -
e
Vamos somar
:
-
✔️ -
✔️
Portanto, a somatambém está em U.
Passo 4
Por último, vamos ver se U é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar qualquer vetor de U por um número qualquer (escala), o resultado também deve estar em U.
Seja em U e
um escalar qualquer. Então:
Seja
Multiplicando por
, temos
:
-
✔️ -
✔️
Assim,também está em U.
Resposta
Como verificamos que o zero vetor está em U, e que U é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço vetorial de
.
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Considere
, tal que
e
Verifique se pertence a imagem de
;
Verifique se
Considere
, tal que
e
Determine a regra que define ;
Determine a regra que define
Encontrar a matriz de mudança de base
para a base
do
.
Considere
, tal que
e
Determine a imagem de T; e uma base para esse subespaço.
Determine a imagem de T; e uma base para esse subespaço.