Mostre que: U=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y=z+t=0 é um subespaço vetorial de R^4,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para isso, vamos verificar três coisas: se o zero vetor está em U, se U é fechado sob adição e se U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o zero vetor está em U. O zero vetor em é . Vamos conferir as condições:
  • ✔️
  • ✔️
    Então, o zero vetor está em U.

Passo 3

Agora, vamos checar se U é fechado sob adição. Ou seja, se a gente pegar dois vetores qualquer em U, a soma deles também deve estar em U.
Sejam e em U. Então:
  • e
  • e
Vamos somar :
  • ✔️
  • ✔️
    Portanto, a soma também está em U.

Passo 4

Por último, vamos ver se U é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar qualquer vetor de U por um número qualquer (escala), o resultado também deve estar em U.
Seja em U e um escalar qualquer. Então:
Multiplicando por , temos :
  • ✔️
  • ✔️
    Assim, também está em U.

Resposta

Como verificamos que o zero vetor está em U, e que U é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço vetorial de .

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