Considere , tal que e
Determine a regra que define ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua nos vetores da base canônica de . A tarefa é descobrir qual é a “receita” ou regra que define como transforma qualquer vetor em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Transformações lineares podem ser representadas por matrizes. No nosso caso, como mapeia para , a matriz que representa será uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica pela transformação . Ou seja,

Passo 3

Vamos montar a matriz usando as informações dadas:
Portanto, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos a matriz , podemos definir a transformação para qualquer vetor em multiplicando por :

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação da matriz pela coordenada vetor:
Simplificando:

Resposta

A regra que define a transformação é:

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Determine uma base ortonomal para o subespaço de gerado pelos vetores e .
As matrizes tais que quando são chamadas - trian inferiores. Prove que elas constituem um subespaço vetorial , obtenha us para e determine a sua dimensao.
Considere , tal que e
Verifique se pertence a imagem de ;
Mostre que: é um subespaço vetorial de ,