Considere T: R^3 R^3, tal que T(e1)=(1,5,7), T(e2)=(8,4,-16) e T(e3)=(-2,-2,-16)
Determine a regra que define T;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que atua nos vetores da base canônica de . A tarefa é descobrir qual é a “receita” ou regra que define como transforma qualquer vetor em . Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Transformações lineares podem ser representadas por matrizes. No nosso caso, como A = T(e1) & T(e2) & T(e3) mapeia para , a matriz que representa será uma matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica pela transformação . Ou seja,

Passo 3

Vamos montar a matriz T(e1) = (1, 5, 7) T(e2) = (8, 4, -16) T(e3) = (-2, -2, -16) usando as informações dadas:
A = 1 & 8 & -2 5 & 4 & -2 7 & -16 & -16
Portanto, a matriz fica:

Passo 4

Agora que temos a matriz T(x) = A cdot x = 1 & 8 & -2 5 & 4 & -2 7 & -16 & -16 x1 x2 x3 , podemos definir a transformação para qualquer vetor em multiplicando por :

Passo 5

Vamos realizar a multiplicação da matriz pela coordenada vetor:
T(x) = ( 1 cdot x1 + 8 cdot x2 + (-2) cdot x3, 5 cdot x1 + 4 cdot x2 + (-2) cdot x3, 7 cdot x1 + (-16) cdot x2 + (-16) cdot x3 )
Simplificando:
T(x) = (x1 + 8x2 - 2x3, 5x1 + 4x2 - 2x3, 7x1 - 16x2 - 16x3)

Resposta

A regra que define a transformação T(x1, x2, x3) = (x1 + 8x2 - 2x3, 5x1 + 4x2 - 2x3, 7x1 - 16x2 - 16x3) é:

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