Determine uma base ortonomal para o subespaço de
gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço de
gerado pelos vetores
,
e
. Isso significa que vamos encontrar um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados), que geram o mesmo subespaço que os vetores originais. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e depois normalizá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores
,
e
para obter uma base ortogonal. Começamos com
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é
projetado no espaço perpendicular a
:
A projeção de
sobre
é dada por:
Calculando os produtos internos:
Então,
Agora, subtraímos isso de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é
projetado no espaço perpendicular a
e
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Então,
Passo 5
Agora que temos os vetores
,
e
ortogonais, vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal. A normalização consiste em dividir cada vetor pelo seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor ortonormal correspondente a
é:
Passo 6
Agora, calculamos o comprimento de
:
O vetor ortonormal correspondente a
é:
Passo 7
Finalmente, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor ortonormal correspondente a
é:
Resposta
Uma base ortonormal para o subespaço de
é:
Exercícios relacionados
As matrizes
tais que
quando
são chamadas - trian inferiores. Prove que elas constituem um subespaço vetorial
, obtenha us para
e determine a sua dimensao.
Dados os vetores
e
Determine uma base de e dimensão.
Determine uma base de
Considere
, tal que
e
Determine a regra que define ;
Determine a regra que define
Considere
, tal que
e
Verifique se pertence a imagem de
;
Verifique se