Determine uma base ortonomal para o subespaço de gerado pelos vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço de gerado pelos vetores , e . Isso significa que vamos encontrar um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados), que geram o mesmo subespaço que os vetores originais. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e depois normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores , e para obter uma base ortogonal. Começamos com :

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é projetado no espaço perpendicular a :
A projeção de sobre é dada por:
Calculando os produtos internos:
Então,
Agora, subtraímos isso de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é projetado no espaço perpendicular a e :
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Então,

Passo 5

Agora que temos os vetores , e ortogonais, vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal. A normalização consiste em dividir cada vetor pelo seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor ortonormal correspondente a é:

Passo 6

Agora, calculamos o comprimento de :
O vetor ortonormal correspondente a é:

Passo 7

Finalmente, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor ortonormal correspondente a é:

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço de é:

Exercícios relacionados

As matrizes tais que quando são chamadas - trian inferiores. Prove que elas constituem um subespaço vetorial , obtenha us para e determine a sua dimensao.
Dados os vetores e
Determine uma base de e dimensão.
Considere , tal que e
Determine a regra que define ;
Considere , tal que e
Verifique se pertence a imagem de ;