Determine uma base ortonomal para o subespaço de R^4 gerado pelos vetores v1=(1,2,2,4), v2=(-2,0,-4,0) e v3=(-1,1,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o subespaço de gerado pelos vetores , e . Isso significa que vamos encontrar um conjunto de vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e com comprimento 1 (normalizados), que geram o mesmo subespaço que os vetores originais. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores e depois normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt nos vetores u1 = v1 = (1, 2, 2, 4) , e para obter uma base ortogonal. Começamos com :

Passo 3

Agora, vamos encontrar u2 = v2 - proju1 v2 , que é proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1 projetado no espaço perpendicular a v2 cdot u1 = (-2)(1) + (0)(2) + (-4)(2) + (0)(4) = -2 + 0 - 8 + 0 = -10 :
u1 cdot u1 = 1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 = 1 + 4 + 4 + 16 = 25
A projeção de proju1 v2 = ( -1025 ) (1, 2, 2, 4) = ( -25, -45, -45, -85 ) sobre u2 = (-2, 0, -4, 0) - ( -25, -45, -45, -85 ) = ( -2 + 25, 0 + 45, -4 + 45, 0 + 85 ) = ( -85, 45, -165, 85 ) é dada por:
Calculando os produtos internos:
Então,
Agora, subtraímos isso de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar u3 = v3 - proju1 v3 - proju2 v3 , que é v3 cdot u1 = (-1)(1) + (1)(2) + (2)(2) + (0)(4) = -1 + 2 + 4 + 0 = 5 projetado no espaço perpendicular a proju1 v3 = ( 525 ) (1, 2, 2, 4) = ( 15, 25, 25, 45 ) e v3 cdot u2 = (-1)(-85) + (1)(45) + (2)(-165) + (0)(85) = 85 + 45 - 325 + 0 = -205 = -4 :
u2 cdot u2 = (-85)^2 + (45)^2 + (-165)^2 + (85)^2 = 6425 + 1625 + 25625 + 6425 = 40025 = 16
Primeiro, calculamos proju2 v3 = ( -416 ) u2 = ( -14 ) ( -85, 45, -165, 85 ) = ( 25, -15, 45, -25 ) :
u3 = ( -1, 1, 2, 0 ) - ( 15, 25, 25, 45 ) - ( 25, -15, 45, -25 ) = ( -1 - 15 - 25, 1 - 25 + 15, 2 - 25 - 45, 0 - 45 + 25 ) = ( -85, 45, 85, -25 )
Agora, calculamos :
Então,

Passo 5

Agora que temos os vetores |u1| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 = raiz1 + 4 + 4 + 16 = raiz25 = 5 , e1 = u1|u1| = ( 15, 25, 25, 45 ) e ortogonais, vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal. A normalização consiste em dividir cada vetor pelo seu comprimento.
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor ortonormal correspondente a é:

Passo 6

Agora, calculamos o comprimento de |u2| = raiz(-85)^2 + (45)^2 + (-165)^2 + (85)^2 = raiz6425 + 1625 + 25625 + 6425 = raiz40025 = raiz16 = 4 :
e2 = u2|u2| = ( -25, 15, -45, 25 )
O vetor ortonormal correspondente a é:

Passo 7

Finalmente, calculamos o comprimento de |u3| = raiz(-85)^2 + (45)^2 + (85)^2 + (-25)^2 = raiz6425 + 1625 + 6425 + 425 = raiz14825 = raiz1485 = 2raiz375 :
e3 = u3|u3| = ( -85 cdot 52raiz37, 45 cdot 52raiz37, 85 cdot 52raiz37, -25 cdot 52raiz37 ) = ( -4raiz37, 2raiz37, 4raiz37, -1raiz37 )
Então, o vetor ortonormal correspondente a é:

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço de ( 15, 25, 25, 45 ), ( -25, 15, -45, 25 ), ( -4raiz37, 2raiz37, 4raiz37, -1raiz37 ) é:

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