Considere , tal que e
Verifique se pertence a imagem de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por como ela age nos vetores da base canônica . Queremos descobrir se o vetor está na imagem dessa transformação. Basicamente, precisamos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear de , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa agir sobre um vetor qualquer :
Substituindo os valores dados:
Queremos que isso seja igual a :
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações:
Esse sistema vai nos dizer se existe uma combinação dos vetores , e que resulta em .
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira de fazer isso é usando o método de eliminação de Gauss. Vamos organizar as equações:
Primeiro, vamos eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplique a equação 1 por 5 e subtraia da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
→ Equação 4
Agora, faça o mesmo com a equação 3. Multiplique a equação 1 por 7 e subtraia da equação 3:
Subtraindo da equação 3:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
→ Equação 5
Passo 5
Agora temos um sistema reduzido com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver a equação 5 para :
Isolando :
Agora, substituímos na equação 4:
Simplificando:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Dividindo por -162:
Passo 6
Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que obtivemos:
Substituindo :
Agora, temos e .
Passo 7
Por último, vamos encontrar usando a equação 1:
Substituindo e :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Resposta
Sim, o vetor pertence à imagem de . A combinação que satisfaz é .