Considere T: R^3 R^3, tal que T(e1)=(1,5,7), T(e2)=(8,4,-16) e T(e3)=(-2,-2,-16)
Verifique se (1,-1,-1) pertence a imagem de T;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por como ela age nos vetores da base canônica . Queremos descobrir se o vetor está na imagem dessa transformação. Basicamente, precisamos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear de , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que significa T(x) = x1 cdot T(e1) + x2 cdot T(e2) + x3 cdot T(e3) agir sobre um vetor qualquer T(x) = x1 cdot (1, 5, 7) + x2 cdot (8, 4, -16) + x3 cdot (-2, -2, -16) :
x1 cdot (1, 5, 7) + x2 cdot (8, 4, -16) + x3 cdot (-2, -2, -16) = (1, -1, -1)
Substituindo os valores dados:
Queremos que isso seja igual a :

Passo 3

Agora, vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações:
1x1 + 8x2 - 2x3 = 1 5x1 + 4x2 - 2x3 = -1 7x1 - 16x2 - 16x3 = -1
Esse sistema vai nos dizer se existe uma combinação dos vetores , e que resulta em .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Uma maneira de fazer isso é usando o método de eliminação de Gauss. Vamos organizar as equações:
Primeiro, vamos eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplique a equação 1 por 5 e subtraia da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
Equação 4
Agora, faça o mesmo com a equação 3. Multiplique a equação 1 por 7 e subtraia da equação 3:
Subtraindo da equação 3:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
Equação 5

Passo 5

Agora temos um sistema reduzido com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver a equação 5 para :
Isolando :
Agora, substituímos na equação 4:
Simplificando:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Dividindo por -162:

Passo 6

Agora que temos x3 = -36 cdot 19162 + 4 = -684162 + 4 = -389 + 4 = -389 + 369 = -29 , vamos encontrar usando a expressão que obtivemos:
Substituindo :
Agora, temos e .

Passo 7

Por último, vamos encontrar x1 + 8 cdot 19162 - 2 cdot (-29) = 1 usando a equação 1:
x1 + 152162 + 49 = 1
Substituindo x1 + 7681 + 3681 = 1 e x1 + 11281 = 1 :
x1 = 1 - 11281 = 8181 - 11281 = -3181
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

Sim, o vetor pertence à imagem de . A combinação que satisfaz é .

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