Considere , tal que e
Verifique se pertence a imagem de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por como ela age nos vetores da base canônica . Queremos descobrir se o vetor está na imagem dessa transformação. Basicamente, precisamos ver se conseguimos escrever como uma combinação linear de , e . Para isso, vamos montar um sistema de equações e resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa agir sobre um vetor qualquer :
Substituindo os valores dados:
Queremos que isso seja igual a :
Passo 3
Agora, vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações:
Esse sistema vai nos dizer se existe uma combinação dos vetores , e que resulta em .
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira de fazer isso é usando o método de eliminação de Gauss. Vamos organizar as equações:
Primeiro, vamos eliminar das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Multiplique a equação 1 por 5 e subtraia da equação 2:
Subtraindo da equação 2:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
→ Equação 4
Agora, faça o mesmo com a equação 3. Multiplique a equação 1 por 7 e subtraia da equação 3:
Subtraindo da equação 3:
Isso simplifica para:
Dividindo tudo por 2:
→ Equação 5
Passo 5
Agora temos um sistema reduzido com duas equações e duas incógnitas: