As matrizes tais que quando são chamadas - trian inferiores. Prove que elas constituem um subespaço vetorial , obtenha us para e determine a sua dimensao.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem matrizes chamadas triangulares inferiores, que são matrizes onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero, ou seja, quando . A tarefa é mostrar que essas matrizes formam um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as matrizes . Além disso, precisamos encontrar uma base para esse subespaço e determinar a sua dimensão. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de subespaço vetorial, operações de soma e multiplicação por escalar, além de saber como identificar uma base e calcular a dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se:
Ele contém o vetor zero.
É fechado sob adição de vetores.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Então, para mostrar que as matrizes triangulares inferiores formam um subespaço vetorial, precisamos verificar esses três itens.
Passo 3
Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço das matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero. Claramente, nessa matriz, todos os elementos acima da diagonal principal são zero também. Portanto, a matriz zero é uma matriz triangular inferior e, assim, está em .
Passo 4
Verificando a fechadura sob adição:
Vamos pegar duas matrizes triangulares inferiores, e , ambas em . A soma dessas matrizes é , onde .
Como e são triangulares inferiores, temos que e para . Assim, para . Isso mostra que também é uma matriz triangular inferior, ou seja, .
Passo 5
Verificando a fechadura sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz triangular inferior em e um escalar . A multiplicação por escalar resulta na matriz , onde .
Como é triangular inferior, para . Multiplicando por , temos para . Portanto, também é uma matriz triangular inferior, ou seja, .
Passo 6
Encontrando uma base para :
Para encontrar uma base, precisamos identificar um conjunto de matrizes triangulares inferiores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Observe que uma matriz triangular inferior é completamente definida pelos elementos na diagonal e abaixo dela. Para cada posição com , podemos definir uma matriz onde apenas o elemento é 1 e os demais são 0. Vamos chamar essas matrizes de .
Por exemplo, para , temos as matrizes:
Essas matrizes são linearmente independentes e qualquer matriz triangular inferior pode ser escrita como uma combinação linear delas.
Passo 7
Determinando a dimensão de :
A dimensão de um subespaço é o número de vetores na sua base. No caso das matrizes triangulares inferiores , cada matriz onde corresponde a um elemento na base.
O número total de tais com em uma matriz é:
ã
Isso porque para cada linha , varia de 1 até , totalizando elementos.
Resposta
As matrizes triangulares inferiores constituem um subespaço vetorial . Uma base para é composta pelas matrizes com , onde cada tem 1 na posição e 0 nas demais posições. A dimensão de é .