Considere um tanque de água cilíndrico de diâmetro D e profundidade de água h . De acordo com a teoria elementar, a vazão no fundo do tanque seria q=CA(2 gh)^1 / 2, onde C=0,61. Se o nível da água é h0 no momento em que o orifício é aberto, deduza uma expressão de cálculo do tempo necessário para o nível de água cair a h0 / 3.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um tanque de água em forma de cilindro com diâmetro D e altura de água inicial h₀. Queremos calcular o tempo necessário para que o nível da água caia para h₀/3 após abrir um orifício no fundo. Para resolver isso, vamos utilizar a teoria da vazão de fluidos, especificamente a equação que relaciona a velocidade da água saindo do orifício com a altura da coluna de água.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal do tanque. Como o tanque é cilíndrico, a área Aₜ é dada por:
Aₜ = pi D²4 ²

Passo 3

A vazão q da água saindo pelo orifício é dada pela equação de Torricelli:
q = C A raiz2 g h
Onde:
  • C = 0,61 (coeficiente de descarga)
  • A é a área do orifício
  • g é a aceleração da gravidade
  • h é a altura da coluna de água

Passo 4

A taxa de variação do volume de água no tanque é igual à vazão saindo:
dVdt = -q
Como o volume V do cilindro é:
V = Aₜ h
Então:
d(V)dt = Aₜ dhdt = -C A raiz2 g h

Passo 5

Isolando dhdt = -C A raiz2 g hAₜ :
Isso é uma equação diferencial que podemos separar as variáveis h e t.

Passo 6

Separando as variáveis:
dhraizh = -C A raiz2 gAₜ dt
Agora, integramos ambos os lados. Os limites para h vão de h₀ a h₀/3, e para t vão de 0 ao tempo t que queremos encontrar.

Passo 7

Integrando:
integralh₀^h₀/3 h^-1/2 dh = -C A raiz2 gAₜ integral0^t dt
Calculando as integrais:
2 [ raizh ]h₀^h₀/3 = -C A raiz2 gAₜ t

Passo 8

Substituindo os limites:
2 ( raizh₀3 - raizh₀ ) = -C A raiz2 gAₜ t
Simplificando:
2 raizh₀ ( 1raiz3 - 1 ) = -C A raiz2 gAₜ t

Passo 9

Resolvendo para t:
t = 2 raizh₀ (1 - 1raiz3) AₜC A raiz2 g

Resposta

O tempo necessário para o nível da água cair de h₀ para h₀/3 é dado por:
t = 2 raizh₀ (1 - 1raiz3) pi D²4C A raiz2 g ²

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