Considere um tanque de água cilíndrico de diâmetro D e profundidade de água h . De acordo com a teoria elementar, a vazão no fundo do tanque seria
, onde
. Se o nível da água é
no momento em que o orifício é aberto, deduza uma expressão de cálculo do tempo necessário para o nível de água cair a
.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um tanque de água em forma de cilindro com diâmetro D e altura de água inicial h₀. Queremos calcular o tempo necessário para que o nível da água caia para h₀/3 após abrir um orifício no fundo. Para resolver isso, vamos utilizar a teoria da vazão de fluidos, especificamente a equação que relaciona a velocidade da água saindo do orifício com a altura da coluna de água.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal do tanque. Como o tanque é cilíndrico, a área Aₜ é dada por:
Passo 3
A vazão q da água saindo pelo orifício é dada pela equação de Torricelli:
Onde:
- C = 0,61 (coeficiente de descarga)
- A é a área do orifício
- g é a aceleração da gravidade
- h é a altura da coluna de água
Passo 4
A taxa de variação do volume de água no tanque é igual à vazão saindo:
Como o volume V do cilindro é:
Então:
Passo 5
Isolando
:
Isso é uma equação diferencial que podemos separar as variáveis h e t.
Passo 6
Separando as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. Os limites para h vão de h₀ a h₀/3, e para t vão de 0 ao tempo t que queremos encontrar.
Passo 7
Integrando:
Calculando as integrais:
Passo 8
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para t:
Resposta
O tempo necessário para o nível da água cair de h₀ para h₀/3 é dado por:
Exercícios relacionados
Uma solução diluída, a
, é adicionada a um tanque bem agitado com uma vazão de
. Uma serpentina de aquecimento tendo uma área de
é percorrida por vapor a
e está localizada no interior do tanque. Uma vazão mássica de
de líquido aquecido deixa o tanque à temperatura da solução do interior do tanque, que é mantida constante por agitação. No início da operação existem 230 kg de solução a
no interior do tanque. Calcular a temperatura de saída, após 1 h de aquecimento.
Empiricamente, sabe-se que o fluxo de calor para o líquido é proporcional à diferença de temperatura entre o vapor e a temperatura do líquido no tanque:
, onde U é a constante de proporcionalidade, chamada de coeficiente global de transporte de calor. Esta quantidade é, em geral, uma função das propriedades dos dois fluidos envolvidos, do escoamento, da forma e do material da serpentina. Para este projeto
.
. Despreze o trabalho do agitador.
Empiricamente, sabe-se que o fluxo de calor para o líquido é proporcional à diferença de temperatura entre o vapor e a temperatura do líquido no tanque:
Questão ( 2,5 pontos): Seja o escoamento laminar, totalmente desenvolvido, em regime permanente de fluido não-newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico de raio R e comprimento L posicionado na vertical com escoamento do fluido na direção do campo gravitacional, e a pressão em
é dada por
e em
é dada por
com
. Determine o perfil de velocidade do fluido.
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
a. Escreva o balanço de energia para o escoamento permanente entre as superfícies 1 e 2. Justifique cada termo do BEM. Dê a equação final com a potência da bomba isolada na equação.
a. Explique por que, mesmo não havendo diferença de pressão, existe deslocamento do fluido entre as placas.