Considere um tanque de água cilíndrico de diâmetro D e profundidade de água h . De acordo com a teoria elementar, a vazão no fundo do tanque seria
, onde
. Se o nível da água é
no momento em que o orifício é aberto, deduza uma expressão de cálculo do tempo necessário para o nível de água cair a
.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um tanque de água em forma de cilindro com diâmetro D e altura de água inicial h₀. Queremos calcular o tempo necessário para que o nível da água caia para h₀/3 após abrir um orifício no fundo. Para resolver isso, vamos utilizar a teoria da vazão de fluidos, especificamente a equação que relaciona a velocidade da água saindo do orifício com a altura da coluna de água.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a área da seção transversal do tanque. Como o tanque é cilíndrico, a área Aₜ é dada por:
Passo 3
A vazão q da água saindo pelo orifício é dada pela equação de Torricelli:
Onde:
- C = 0,61 (coeficiente de descarga)
- A é a área do orifício
- g é a aceleração da gravidade
- h é a altura da coluna de água
Passo 4
A taxa de variação do volume de água no tanque é igual à vazão saindo:
Como o volume V do cilindro é:
Então:
Passo 5
Isolando
:
Isso é uma equação diferencial que podemos separar as variáveis h e t.
Passo 6
Separando as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados. Os limites para h vão de h₀ a h₀/3, e para t vão de 0 ao tempo t que queremos encontrar.
Passo 7
Integrando:
Calculando as integrais:
Passo 8
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 9
Resolvendo para t:
Resposta
O tempo necessário para o nível da água cair de h₀ para h₀/3 é dado por: