Questão ( 2,5 pontos): Seja o escoamento laminar, totalmente desenvolvido, em regime permanente de fluido não-newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico de raio R e comprimento L posicionado na vertical com escoamento do fluido na direção do campo gravitacional, e a pressão em z=0 é dada por Po e em z=L é dada por PL com P0>PL. Determine o perfil de velocidade do fluido.
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
taur z=-K(-d vzd r)^n-1 d vzd r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do fluxo laminar, totalmente desenvolvido e em regime permanente de um fluido não-newtoniano e incompressível dentro de um tubo cilíndrico vertical. A gente precisa descobrir como a velocidade do fluido varia em função do raio do tubo. Para isso, vamos usar a lei da potência para fluidos não-newtonianos, que nos dá uma relação entre o esforço cortante e o gradiente de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fluxo laminar e totalmente desenvolvido. Fluxo laminar é aquele onde as partículas do fluido se movem em camadas paralelas, sem mistura entre elas. Já fluxo totalmente desenvolvido quer dizer que a velocidade do fluido só depende da posição radial ® e não do comprimento (z) do tubo, já que as condições de entrada já estabilizaram o perfil de velocidade.

Passo 3

Agora, vamos usar a lei da conservação de momento para fluido em regime permanente e totalmente desenvolvido. A equação de Navier-Stokes, simplificada para essas condições, fica:
0 = -dPdz + 1r ddr( r taurz ) + rho g
Aqui, é a variação da pressão ao longo do tubo, é o esforço cortante, é a densidade do fluido e é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Como o fluxo é totalmente desenvolvido, a derivada da velocidade em relação a z é zero. E como o fluxo é vertical, a força gravitacional também atua na direção z. Assim, a equação simplifica para:
dPdz = 1r ddr( r taurz ) + rho g

Passo 5

Vamos lembrar da lei da potência para fluidos não-newtonianos, que é dada por:
taurz = -K (-dvzdr)^n-1 dvzdr
Aqui, é a consistência do fluido e é o índice de comportamento. Para resolver a equação, precisamos substituir na equação de conservação de momento.

Passo 6

Substituindo dPdz = 1r ddr( -Kr (-dvzdr)^n ) + rho g na equação, temos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Derivando em relação a dPdz = -K (-dvzdr)^n ( 1r ddr(r) ) + rho g , obtemos:
dPdz = -K (-dvzdr)^n + rho g
Como , a equação fica:

Passo 8

Agora, isolamos o gradiente de pressão:
dPdz - rho g = -K (-dvzdr)^n
Multiplicando ambos os lados por -dPdz + rho g = K (-dvzdr)^n :

Passo 9

Para simplificar, vamos definir e considerar a variação da pressão ao longo do comprimento do tubo. Assim, podemos integrar a equação para encontrar a distribuição de velocidade .

Passo 10

Integrando a equação, chegamos à expressão para o perfil de velocidade do fluido:
vz(r) = nn+1 ( -De

Resposta

O perfil de velocidade do fluido é dado por
vz(r) = nn+1 ( P0 - PL + rho g LK )^1/n ( R^(n+1)/n - r^(n+1)/n )

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