Questão ( 2,5 pontos): Seja o escoamento laminar, totalmente desenvolvido, em regime permanente de fluido não-newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico de raio R e comprimento L posicionado na vertical com escoamento do fluido na direção do campo gravitacional, e a pressão em
é dada por
e em
é dada por
com
. Determine o perfil de velocidade do fluido.
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
Dado: o fluido é não newtoniano e segue a lei da potência dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do fluxo laminar, totalmente desenvolvido e em regime permanente de um fluido não-newtoniano e incompressível dentro de um tubo cilíndrico vertical. A gente precisa descobrir como a velocidade do fluido varia em função do raio do tubo. Para isso, vamos usar a lei da potência para fluidos não-newtonianos, que nos dá uma relação entre o esforço cortante e o gradiente de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fluxo laminar e totalmente desenvolvido. Fluxo laminar é aquele onde as partículas do fluido se movem em camadas paralelas, sem mistura entre elas. Já fluxo totalmente desenvolvido quer dizer que a velocidade do fluido só depende da posição radial ® e não do comprimento (z) do tubo, já que as condições de entrada já estabilizaram o perfil de velocidade.
Passo 3
Agora, vamos usar a lei da conservação de momento para fluido em regime permanente e totalmente desenvolvido. A equação de Navier-Stokes, simplificada para essas condições, fica:
Aqui,
é a variação da pressão ao longo do tubo,
é o esforço cortante,
é a densidade do fluido e
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Como o fluxo é totalmente desenvolvido, a derivada da velocidade em relação a z é zero. E como o fluxo é vertical, a força gravitacional também atua na direção z. Assim, a equação simplifica para:
Passo 5
Vamos lembrar da lei da potência para fluidos não-newtonianos, que é dada por:
Aqui,
é a consistência do fluido e
é o índice de comportamento. Para resolver a equação, precisamos substituir
na equação de conservação de momento.
Passo 6
Substituindo
na equação, temos:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Derivando em relação a
, obtemos:
Como
, a equação fica:
Passo 8
Agora, isolamos o gradiente de pressão:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Para simplificar, vamos definir
e considerar a variação da pressão ao longo do comprimento
do tubo. Assim, podemos integrar a equação para encontrar a distribuição de velocidade
.
Passo 10
Integrando a equação, chegamos à expressão para o perfil de velocidade do fluido:
Resposta
O perfil de velocidade do fluido é dado por