Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(f) Em que instante de tempo a bala encontra o carro?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque que está se movendo horizontalmente e possui um canhão que dispara uma bala. Um carro está se movendo na direção oposta, e queremos descobrir quanto tempo leva para a bala atingir o carro. Vamos precisar de conceitos de movimentos relativos e lançamento de projéteis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades do tanque e do carro de km/h para m/s, porque as distâncias estão em metros e o tempo será em segundos.
Sabemos que:
Então:
  • Velocidade do tanque ( ):
  • Velocidade do carro ( ):

Passo 3

Como o tanque e o carro estão se movendo em direções opostas na mesma linha, a velocidade relativa entre eles é a soma das velocidades:
Isso significa que a distância entre eles está diminuindo a uma taxa de .

Passo 4

Agora, precisamos considerar o lançamento da bala. O canhão está inclinado a com a horizontal e a saída da bala está a 5 m do solo. Vamos decompor a velocidade inicial da bala nas componentes horizontal ( ) e vertical ( ).
Se a velocidade inicial da bala for , então:

Passo 5

Para o momento em que a bala encontra o carro, as posições horizontal e vertical devem coincidir. Vamos focar primeiro na posição horizontal.
A bala está sendo disparada a partir do tanque que está em movimento, então a velocidade horizontal da bala em relação ao chão é:
Enquanto isso, o carro está se movendo na direção oposta com velocidade .

Passo 6

A distância inicial entre o tanque e o carro é de 2000 m. Queremos encontrar o tempo em que a bala alcança o carro. Podemos igualar as posições horizontais:
çãçã
Resolvendo para :

Passo 7

Precisamos determinar . Supondo que o canhão dispara com uma velocidade inicial , temos:
Para simplificar, vamos assumir que é grande o suficiente para que a componente horizontal da bala seja dominante. Se não for fornecido , precisaríamos dessa informação para continuar.

Passo 8

Como o enunciado não fornece a velocidade inicial da bala ( ), vamos assumir que a velocidade da bala é significativamente maior que as velocidades do tanque e do carro, de modo que possa ser aproximado.
Então, se é grande, o tempo será principalmente influenciado pela distância inicial e pelas velocidades relativas.

Resposta

O instante de tempo em que a bala encontra o carro é aproximadamente segundos.

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Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral0^z / 4 tg x d x, n=4
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(h) Qual a equação da trajetória da bala?
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral1^2 raiz1+x^2 d x, n=10
lim x 0^+ ln (sen x)