Considere que as tensões principais de um solo são de valor 100 kPa e 240 kPa , determine:
Plano que ocorre a tensão cisalhante de 35 kPa e as tensões normais.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas tensões principais em um solo: 100 kPa e 240 kPa. A tarefa é descobrir:
  1. Em qual plano ocorre uma tensão cisalhante de 35 kPa.
  2. Quais são as tensões normais nesse mesmo plano.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformação de tensões e teoria de Mohr, que nos ajudam a entender como as tensões atuam em diferentes planos dentro de um material.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que são tensões principais. As tensões principais ( sigma1 e sigma2) são as maiores e menores tensões normais que ocorrem em um material sem serem acompanhadas de tensões cisalhantes. No nosso caso, sigma1 = 240 , kPa e sigma2 = 100 , kPa.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o plano onde a tensão cisalhante ( tau) é 35 kPa. Para isso, usamos a fórmula que relaciona a tensão cisalhante com o ângulo ( theta) do plano em relação ao eixo das tensões principais:
tau = sigma1 - sigma22 sin(2theta)
Vamos substituir os valores que temos:
35 = 240 - 1002 sin(2theta)

Passo 4

Simplificando a equação:
35 = 1402 sin(2theta) 35 = 70 sin(2theta)
Agora, isolamos sin(2theta):
sin(2theta) = 3570 sin(2theta) = 0,5

Passo 5

Para encontrar 2theta, usamos a função inversa do seno:
2theta = arcsin(0,5) 2theta = 30^circ ou 150^circ
Dividindo ambos os lados por 2:
theta = 15^circ ou 75^circ
Então, os ângulos dos planos onde ocorre a tensão cisalhante de 35 kPa são 15^circ e 75^circ em relação ao eixo das tensões principais.

Passo 6

Agora, vamos determinar as tensões normais ( sigman) nesses planos. Usamos a fórmula:
sigman = sigma1 + sigma22 + sigma1 - sigma22 cos(2theta)
Vamos calcular para theta = 15^circ:
sigman = 240 + 1002 + 240 - 1002 cos(30^circ) sigman = 170 + 70 times raiz32 sigman approx 170 + 70 times 0,8660 sigman approx 170 + 60,62 sigman approx 230,62 , kPa
E para theta = 75^circ:
sigman = 240 + 1002 + 240 - 1002 cos(150^circ) sigman = 170 + 70 times (-0,8660) sigman approx 170 - 60,62 sigman approx 109,38 , kPa

Resposta

O plano onde ocorre uma tensão cisalhante de 35 kPa está inclinado a 15^circ ou 75^circ em relação aos eixos das tensões principais. As tensões normais nesse plano são aproximadamente 230,62 , kPa e 109,38 , kPa.

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