Os resultados abaixo foram obtidos em ensaios de cisalhamento direto em amostras de areia compactada. Determine os parâmetros de resistência e comente se haveria ruptura em um plano em que atuam tau=122 kPa e sigma=246 kPa. Represente também graficamente.
Ensaio tau ruptura (k P a) (sigma) ruptura (k P a)
1 36 50
2 80 100
3 157 200
4 235 300

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica dos solos que envolve ensaios de cisalhamento direto em amostras de areia compactada. Nosso objetivo é determinar os parâmetros de resistência do solo, que são a coesão ( c) e o ângulo de atrito interno ( phi). Também vamos verificar se ocorre ruptura em um plano específico onde atuam tau=122 kPa e sigma=246 kPa. Para isso, utilizaremos os resultados dos ensaios fornecidos e aplicaremos a teoria de Mohr-Coulomb, que descreve a condição de ruptura do solo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a teoria que vamos usar. A condição de ruptura segundo Mohr-Coulomb é dada por:
tau = c + sigma tan(phi)
onde:
  • tau é o esforço cortante no plano de ruptura,
  • sigma é o esforço normal no mesmo plano,
  • c é a coesão do solo,
  • phi é o ângulo de atrito interno.
Nos foram fornecidos quatro pares de tauruptura e sigmaruptura de diferentes ensaios. Vamos usar esses pares para montar um sistema de equações e resolver para c e phi.

Passo 3

Vamos organizar os dados fornecidos:
ccc Ensaio & tauruptura (kPa) & sigmaruptura (kPa) 1 & 36 & 50 2 & 80 & 100 3 & 157 & 200 4 & 235 & 300
Para cada ensaio, temos a equação:
tau = c + sigma tan(phi)
Isso nos dá quatro equações:
36 = c + 50 tan(phi) 80 = c + 100 tan(phi) 157 = c + 200 tan(phi) 235 = c + 300 tan(phi)

Passo 4

Para resolver, podemos subtrair a primeira equação da segunda, a segunda da terceira, e assim por diante, para eliminar c e encontrar tan(phi).
Subtraindo a primeira da segunda:
80 - 36 = (c + 100 tan(phi)) - (c + 50 tan(phi)) 44 = 50 tan(phi) tan(phi) = 4450 = 0,88
Convertendo para o ângulo:
phi = arctan(0,88) approx 41,0^circ

Passo 5

Agora que temos tan(phi), podemos substituir em uma das equações para encontrar c. Usando a primeira equação:
36 = c + 50 times 0,88 36 = c + 44 c = 36 - 44 c = -8 kPa
No entanto, a coesão não pode ser negativa, o que sugere que o modelo de Mohr-Coulomb sem coesão ( c=0) pode ser mais apropriado para este caso.

Passo 6

Assumindo c=0, a equação fica:
tau = sigma tan(phi)
Usando os dados, podemos calcular tan(phi) para cada ensaio e verificar a consistência:
ccc Ensaio & tan(phi) & phi (circ) 1 & 3650 = 0,72 & 35,9^circ 2 & 80100 = 0,80 & 38,7^circ 3 & 157200 = 0,785 & 38,4^circ 4 & 235300 approx 0,783 & 38,3^circ
Os valores de phi estão próximos entre si, então podemos tomar uma média:
phi approx 38,3^circ

Passo 7

Com phi approx 38^circ e c=0, podemos agora verificar se ocorre ruptura no plano onde tau=122 kPa e sigma=246 kPa:
taumax = sigma tan(phi) = 246 times tan(38^circ) approx 246 times 0,781 = 192 kPa
Como tau=122 kPa < taumax=192 kPa, não ocorreria ruptura nesse plano.

Passo 8

Para representar graficamente, plotamos os valores de tau vs. sigma dos ensaios e ajustamos uma linha reta, cuja inclinação é tan(phi) e o intercepto é c. Com c=0, a linha passa pela origem:
tau = sigma tan(38^circ)
No gráfico, o ponto (246, 122) está abaixo da linha de ruptura, confirmando que não haverá ruptura nesse plano.

Resposta

Os parâmetros de resistência do solo são:
c = 0 kPa e phi approx 38^circ
Não ocorrerá ruptura no plano onde atuam tau=122 kPa e sigma=246 kPa.

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