Considere que as tensões principais de um solo são de valor 100 kPa e 240 kPa , determine:
Inclinação do plano em que a tensão normal é de 200kPa e qual a cisalhante nesse plano.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre tensões principais em um solo, que são 100 kPa e 240 kPa. Nosso objetivo é descobrir a inclinação do plano onde a tensão normal é de 200 kPa e qual é a tensão de cisalhamento nesse plano. Para isso, vamos usar conhecimentos de mecânica dos solos, especialmente sobre tensões principais e como elas se relacionam com outras tensões em diferentes planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são tensões principais. Em um solo ou material, as tensões principais são as tensões máximas e mínimas que atuam em planos perpendiculares entre si, sem componente de cisalhamento. No nosso caso, temos duas tensões principais: σ₁ = 240 kPa e σ₂ = 100 kPa.

Passo 3

Agora, para encontrar a inclinação do plano onde a tensão normal σₙ é 200 kPa, vamos usar a equação que relaciona a tensão normal em um plano inclinado com as tensões principais. A fórmula é:
sigman = sigma1 + sigma22 + sigma1 - sigma22 cos(2theta)
Onde:
  • σₙ é a tensão normal no plano inclinado
  • σ₁ e σ₂ são as tensões principais
  • θ é o ângulo de inclinação do plano em relação à direção da maior tensão principal

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na equação:
200 = 240 + 1002 + 240 - 1002 cos(2theta)
Calculando os termos:
200 = 3402 + 1402 cos(2theta)
200 = 170 + 70 cos(2theta)

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo que contém o cosseno:
200 - 170 = 70 cos(2theta)
30 = 70 cos(2theta)
Dividindo ambos os lados por 70:
cos(2theta) = 3070 = 37

Passo 6

Para encontrar θ, precisamos calcular o arco cosseno de 3/7:
2theta = cos^-1(37)
Usando uma calculadora:
2theta approx cos^-1(0.4286) approx 64.62^circ
Então:
theta approx 64.622 approx 32.31^circ

Passo 7

Agora que temos a inclinação do plano, vamos calcular a tensão de cisalhamento σₛ nesse plano. A fórmula para a tensão de cisalhamento é:
sigmas = sigma1 - sigma22 sin(2theta)

Passo 8

Substituindo os valores:
sigmas = 240 - 1002 sin(2 times 32.31^circ)
sigmas = 1402 sin(64.62^circ)
sigmas = 70 times sin(64.62^circ)
Calculando o seno:
sigmas approx 70 times 0.9016 approx 63.11 , kPa

Resposta

A inclinação do plano é aproximadamente 32,31 graus, e a tensão de cisalhamento nesse plano é cerca de 63,11 kPa.

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