Considere que as tensões principais de um solo são de valor 100 kPa e 240 kPa , determine:
Tensões que atuam em um plano que determina um ângulo de 30^circ com o plano principal maior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com tensões principais em solos, que nesse caso são de 100 kPa e 240 kPa. O que a gente precisa descobrir é quais são as tensões que atuam em um plano que forma um ângulo de 30 graus com o plano principal maior. Para isso, vamos usar algumas fórmulas de transformação de tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as tensões principais. Temos:
  • σ₁ (tensão principal maior) = 240 kPa
  • σ₂ (tensão principal menor) = 100 kPa

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão normal (σₙ) e a tensão de cisalhamento (τ) no plano que está a 30° do plano principal maior. Para isso, usamos as seguintes fórmulas de transformação:
sigman = sigma1 + sigma22 + sigma1 - sigma22 cos(2theta)
tau = sigma1 - sigma22 sin(2theta)

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos nessas fórmulas. Primeiro, calculemos sigma1 + sigma22:
240, kPa + 100, kPa2 = 340, kPa2 = 170, kPa

Passo 5

Em seguida, calculemos sigma1 - sigma22:
240, kPa - 100, kPa2 = 140, kPa2 = 70, kPa

Passo 6

Agora, vamos calcular 2theta, onde theta = 30°:
2 times 30° = 60°

Passo 7

Vamos usar os valores calculados para encontrar sigman:
sigman = 170, kPa + 70, kPa times cos(60°)
Sabemos que cos(60°) = 0,5, então:
sigman = 170, kPa + 70, kPa times 0,5 = 170, kPa + 35, kPa = 205, kPa

Passo 8

Agora, vamos calcular tau:
tau = 70, kPa times sin(60°)
Sabemos que sin(60°) approx 0,8660, então:
tau = 70, kPa times 0,8660 approx 60,62, kPa

Resposta

As tensões que atuam no plano a 30° do plano principal maior são:
  • Tensão normal (σₙ): 205 kPa
  • Tensão de cisalhamento (τ): aproximadamente 60,62 kPa

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