Um rebatedor golpeia uma bola quando o centro da bola está a 1,22 m acima do solo. A bola deixa o taco do rebatedor fazendo um ângulo de 45^circ com o solo. Nesse lançamento a bola tem um alcance horizontal (distância até voltar à altura de lançamento) de 107 m. (a) A bola conseguirá passar por um alambrado de 7,32 m de altura que está a uma distância horizontal de 102 m do ponto de lançamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o movimento de uma bola lançada por um rebatedor. A gente vai precisar usar conceitos de movimento parabólico para descobrir se a bola vai conseguir passar por um alambrado que está a 102 metros de distância e tem 7,32 metros de altura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que já sabemos:
  • A altura inicial da bola é de 1,22 m.
  • O ângulo de lançamento é de 45^circ.
  • O alcance total da bola, ou seja, a distância até ela voltar à altura de lançamento, é de 107 m.
A gente precisa encontrar a velocidade inicial com que a bola foi lançada. Para isso, vamos usar a fórmula do alcance em movimento parabólico:
R = v0^2 sin(2theta)g
Onde:
  • R é o alcance ( 107 m),
  • v0 é a velocidade inicial que queremos encontrar,
  • theta é o ângulo de lançamento ( 45^circ),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 m/s^2).

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para resolver v0:
v0 = raizR cdot gsin(2theta)
Substituindo os valores:
v0 = raiz107 cdot 9,8sin(90^circ) = raiz1048,61 = raiz1048,6 approx 32,38 m/s

Passo 4

Agora que temos a velocidade inicial, vamos encontrar a altura da bola quando ela estiver a 102 m de distância. Para isso, usamos a equação da trajetória:
y(x) = y0 + x tan(theta) - g x^22 v0^2 cos^2(theta)
Onde:
  • y(x) é a altura da bola na posição x,
  • y0 é a altura inicial ( 1,22 m),
  • theta é 45^circ,
  • v0 é 32,38 m/s,
  • g é 9,8 m/s^2,
  • x é a distância horizontal ( 102 m).
Calculando cada parte:
  1. tan(45^circ) = 1
  2. cos(45^circ) = raiz22
  3. Então,
y(102) = 1,22 + 102 cdot 1 - 9,8 cdot 102^22 cdot (32,38)^2 cdot (raiz22)^2
Simplificando:
y(102) = 1,22 + 102 - 9,8 cdot 104042 cdot 1046 cdot 0,5 = 103,22 - 101,59921046 approx 103,22 - 0,097 approx 103,123 m

Resposta

Sim, a bola passará pelo alambrado, já que a altura da bola a 102 metros é aproximadamente 103,12 m, que é maior que 7,32 m.

Exercícios relacionados