Considere um termômetro de vidro de mercúrio. Suponha que a seção reta do capilar seja uma constante e que o volume do bulbo de mercúrio a seja . Suponha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a . Mostre que o comprimento da coluna de mercúrio no capilar, à temperatura , em , é proporcional à temperatura, sendo dado por
Em que é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e a é o coeficiente de dilatação linear do vidro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um termômetro de vidro com mercúrio. A gente precisa descobrir como o comprimento da coluna de mercúrio no capilar muda quando a temperatura aumenta. Para isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica — que é como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Vamos precisar entender tanto a dilatação volumétrica do mercúrio quanto a dilatação linear do vidro.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na dilatação volumétrica do mercúrio. A dilatação volumétrica se refere a como o volume de um material muda com a temperatura. A fórmula para isso é:
Aqui, é o volume inicial do mercúrio, é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio, e é a variação de temperatura. Isso nos diz quanto o volume do mercúrio aumenta quando a temperatura muda.

Passo 3

Agora, vamos considerar a dilatação linear do vidro. A dilatação linear é sobre como o comprimento de um material se altera com a temperatura. A fórmula para a dilatação linear é:
Onde é o comprimento inicial, é o coeficiente de dilatação linear do vidro, e é a variação de temperatura. Como o vidros pode expandir em todas as direções, o volume que ele ocupa também muda. Para o volume, que depende de três dimensões (comprimento, largura e altura), a dilatação volumétrica total é aproximadamente:
Multiplicamos por 3 porque o vidro se expande em três direções.

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas dilatações para ver como o comprimento da coluna de mercúrio no capilar muda. O volume total disponível para o mercúrio no termo é a diferença entre a dilatação do mercúrio e a dilatação do vidro:
Como o capilar tem uma área de seção transversal constante , o aumento no volume do mercúrio se traduz diretamente em um aumento no comprimento da coluna:

Resposta

Portanto, o comprimento da coluna de mercúrio no capilar, em função da temperatura , é dado por:

Exercícios relacionados

Num intervalo entre , um termômetro de resistência, de platina, de especificações definidas é usado para temperaturas interpoladas da Escala Prática de Temperatura. A Celsius é dada por uma fórmula de variação da resistência com a temperatura:
, e são constantes determinadas por medidas no ponto de gelo, no ponto de vapor e no ponto do zinco.
O ponto de fusão do zinco é 692,664K.
(a) Se é igual a , no ponto de gelo; , no ponto de vapor; e no ponto do zinco, ache e .
(b) Faça o gráfico de versus na faixa de 0 a .
O ponto de ebulição e o ponto de fusão da água na escala Fahrenheit foram escolhidos de modo que a diferença entre as duas temperaturas fosse de , um número que é divisível por 2, 3, 4, 5, 6 e 9 . Estabeleça uma nova escala de temperatura de modo que o zero absoluto seja e .
(a) Qual a fórmula de conversão de Celsius para S?
(b) Determine á e em S .
: (a) . (b) .
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
d)
A amplificação ou ganho de um amplificador a transistor de pende da temperatura. O ganho de um certo amplificador à temperatura ambiente ( ) é 30,0 e a é 35,2 . Se o ganho variasse linearmente com a temperatura neste intervalo limitado, qual seria o ganho a ?