Considere um termômetro de vidro de mercúrio. Suponha que a seção reta do capilar seja uma constante
e que o volume do bulbo de mercúrio a
seja
. Suponha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a
. Mostre que o comprimento
da coluna de mercúrio no capilar, à temperatura
, em
, é proporcional à temperatura, sendo dado por
Em que
é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e a é o coeficiente de dilatação linear do vidro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um termômetro de vidro com mercúrio. A gente precisa descobrir como o comprimento da coluna de mercúrio no capilar muda quando a temperatura aumenta. Para isso, vamos usar os conceitos de dilatação térmica — que é como materiais se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Vamos precisar entender tanto a dilatação volumétrica do mercúrio quanto a dilatação linear do vidro.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na dilatação volumétrica do mercúrio. A dilatação volumétrica se refere a como o volume de um material muda com a temperatura. A fórmula para isso é:
Aqui,
é o volume inicial do mercúrio,
é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio, e
é a variação de temperatura. Isso nos diz quanto o volume do mercúrio aumenta quando a temperatura muda.
Passo 3
Agora, vamos considerar a dilatação linear do vidro. A dilatação linear é sobre como o comprimento de um material se altera com a temperatura. A fórmula para a dilatação linear é:
Onde
é o comprimento inicial,
é o coeficiente de dilatação linear do vidro, e
é a variação de temperatura. Como o vidros pode expandir em todas as direções, o volume que ele ocupa também muda. Para o volume, que depende de três dimensões (comprimento, largura e altura), a dilatação volumétrica total é aproximadamente:
Multiplicamos por 3 porque o vidro se expande em três direções.
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas dilatações para ver como o comprimento
da coluna de mercúrio no capilar muda. O volume total disponível para o mercúrio no termo é a diferença entre a dilatação do mercúrio e a dilatação do vidro:
Como o capilar tem uma área de seção transversal constante
, o aumento no volume do mercúrio se traduz diretamente em um aumento no comprimento
da coluna:
Resposta
Portanto, o comprimento
da coluna de mercúrio no capilar, em função da temperatura
, é dado por: