Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
d) integral e^x cos x2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^x cos x2 , dx usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar produtos de funções. Ela se baseia na fórmula:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Para aplicar essa técnica, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que simplifica quando derivada, e dv como a parte restante da integral.

Passo 2

Vamos definir:
u = e^x e dv = cos x2 , dx
Agora, precisamos encontrar du e v. Derivando u e integrando dv:
du = e^x , dx
v = integral cos x2 , dx = 2 sin x2

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral e^x cos x2 , dx = u cdot v - integral v , du
= e^x cdot 2 sin x2 - integral 2 sin x2 cdot e^x , dx
= 2 e^x sin x2 - 2 integral e^x sin x2 , dx
Agora, temos uma nova integral integral e^x sin x2 , dx que precisamos resolver.

Passo 4

Vamos chamar essa nova integral de J:
J = integral e^x sin x2 , dx
Vamos aplicar integração por partes novamente em J. Escolhemos:
u = e^x e dv = sin x2 , dx
Calculando du e v:
du = e^x , dx
v = -2 cos x2

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes em J:
J = u cdot v - integral v , du
= e^x cdot (-2 cos x2) - integral (-2 cos x2) cdot e^x , dx
= -2 e^x cos x2 + 2 integral e^x cos x2 , dx
= -2 e^x cos x2 + 2 I
Onde I representa a integral original que estamos tentando resolver.

Passo 6

Voltando à expressão que tínhamos para I:
I = 2 e^x sin x2 - 2 J
Substituindo o valor de J que encontramos:
I = 2 e^x sin x2 - 2 (-2 e^x cos x2 + 2 I)
I = 2 e^x sin x2 + 4 e^x cos x2 - 4 I

Passo 7

Agora, vamos isolar I:
I + 4 I = 2 e^x sin x2 + 4 e^x cos x2
5 I = 2 e^x sin x2 + 4 e^x cos x2
I = 2 e^x sin x2 + 4 e^x cos x25 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral integral e^x cos x2 , dx é igual a:
integral e^x cos x2 , dx = 2 e^x sin x2 + 4 e^x cos x25 + C
ou, simplificando,
integral e^x cos x2 , dx = 2 e^x (sin x2 + 2 cos x2)5 + C

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