Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar produtos de funções. Ela se baseia na fórmula:
Para aplicar essa técnica, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica quando derivada, e como a parte restante da integral.

Passo 2

Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar e . Derivando e integrando :

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral que precisamos resolver.

Passo 4

Vamos chamar essa nova integral de :
Vamos aplicar integração por partes novamente em . Escolhemos:
Calculando e :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes em :
Onde representa a integral original que estamos tentando resolver.

Passo 6

Voltando à expressão que tínhamos para :
Substituindo o valor de que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos isolar :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
ou, simplificando,

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