Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. A integração por partes é uma ferramenta que nos ajuda a integrar produtos de funções. Ela se baseia na fórmula:
Para aplicar essa técnica, precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que simplifica quando derivada, e
como a parte restante da integral.
Passo 2
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
e
. Derivando
e integrando
:
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
que precisamos resolver.
Passo 4
Vamos chamar essa nova integral de
:
Vamos aplicar integração por partes novamente em
. Escolhemos:
Calculando
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes em
:
Onde
representa a integral original que estamos tentando resolver.
Passo 6
Voltando à expressão que tínhamos para
:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
ou, simplificando,