Considere um termometro de vidro de mercúrio. Suponha que a seçaso reta do capilar seja uma constante A e que o volume do bulbo de mercúrio a seja Vi. Supontha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a . Mostre que o comprimento da coluna de mercuirio no capitar, a temperatura , em proporcional à temperatura, sendo dado por
onde é o coeficiente de ditataçふ̊o volumetrica do mercúrio e a a coeficiente de dilataçalo linear do vidro

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um termômetro de vidro com mercúrio e precisa descobrir como a coluna de mercúrio nele muda de tamanho quando a temperatura varia. O que vamos usar aqui são conceitos de dilatação térmica, que mostram como materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação volumétrica do mercúrio e da dilatação linear do vidro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no mercúrio dentro do bulbo do termômetro. Quando a temperatura aumenta, o mercúrio se expande. A dilatação volumétrica do mercúrio é dada por:
Aqui, é a variação de volume, é o volume inicial do mercúrio a , é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa mudança de volume com o comprimento da coluna de mercúrio no capilar. Sabemos que o volume da coluna é dado por:
Onde é a seção reta constante do capilar e é o comprimento da coluna de mercúrio. Então, a variação de volume também pode ser expressa como:

Passo 4

Além disso, o vidro do termômetro também se dilata com o aumento de temperatura. A dilatação linear do vidro é dada por:
Aqui, é o coeficiente de dilatação linear do vidro. Essa expansão do vidro afeta o comprimento total da coluna de mercúrio, pois o capilar também se expande.

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas variações de comprimento. A variação total do comprimento da coluna de mercúrio será a variação causada pela dilatação do mercúrio menos a variação causada pela dilatação do vidro:
Podemos simplificar essa expressão isolando :
Assumindo que é pequena e reorganizando os termos, chegamos à fórmula desejada:

Resposta

Assim, o comprimento da coluna de mercúrio no capilar em função da temperatura é dado por:

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