Considere um termometro de vidro de mercúrio. Suponha que a seçaso reta do capilar seja uma constante A e que o volume do bulbo de mercúrio a
seja Vi. Supontha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a
. Mostre que o comprimento
da coluna de mercuirio no capitar, a temperatura
, em
proporcional à temperatura, sendo dado por
onde
é o coeficiente de ditataçふ̊o volumetrica do mercúrio e a a coeficiente de dilataçalo linear do vidro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um termômetro de vidro com mercúrio e precisa descobrir como a coluna de mercúrio nele muda de tamanho quando a temperatura varia. O que vamos usar aqui são conceitos de dilatação térmica, que mostram como materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação volumétrica do mercúrio e da dilatação linear do vidro para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no mercúrio dentro do bulbo do termômetro. Quando a temperatura aumenta, o mercúrio se expande. A dilatação volumétrica do mercúrio é dada por:
Aqui,
é a variação de volume,
é o volume inicial do mercúrio a
,
é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e
é a variação de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa mudança de volume com o comprimento da coluna de mercúrio no capilar. Sabemos que o volume da coluna é dado por:
Onde
é a seção reta constante do capilar e
é o comprimento da coluna de mercúrio. Então, a variação de volume também pode ser expressa como:
Passo 4
Além disso, o vidro do termômetro também se dilata com o aumento de temperatura. A dilatação linear do vidro é dada por:
Aqui,
é o coeficiente de dilatação linear do vidro. Essa expansão do vidro afeta o comprimento total da coluna de mercúrio, pois o capilar também se expande.
Passo 5
Agora, vamos juntar as duas variações de comprimento. A variação total do comprimento da coluna de mercúrio será a variação causada pela dilatação do mercúrio menos a variação causada pela dilatação do vidro:
Podemos simplificar essa expressão isolando
:
Assumindo que
é pequena e reorganizando os termos, chegamos à fórmula desejada:
Resposta
Assim, o comprimento
da coluna de mercúrio no capilar em função da temperatura
é dado por: