Considere um termometro de vidro de mercúrio. Suponha que a seçaso reta do capilar seja uma constante A e que o volume do bulbo de mercúrio a 0.0^circ C seja Vi. Supontha que o mercúrio preencha completamente o bulbo a 0,0^circ C. Mostre que o comprimento L da coluna de mercuirio no capitar, a temperatura T, em ^circ C, ^theta theta proporcional à temperatura, sendo dado por
L=VaA(B-3 a)
onde beta é o coeficiente de ditataçふ̊o volumetrica do mercúrio e a a coeficiente de dilataçalo linear do vidro

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um termômetro de vidro com mercúrio e precisa descobrir como a coluna de mercúrio nele muda de tamanho quando a temperatura varia. O que vamos usar aqui são conceitos de dilatação térmica, que mostram como materiais se expandem ou contraem com a mudança de temperatura. Precisamos das fórmulas de dilatação volumétrica do mercúrio e da dilatação linear do vidro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no mercúrio dentro do bulbo do termômetro. Quando a temperatura aumenta, o mercúrio se expande. A dilatação volumétrica do mercúrio é dada por:
De
Aqui, De é a variação de volume, Vi é o volume inicial do mercúrio a 0,0^circ C, beta é o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio e De é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa mudança de volume com o comprimento da coluna de mercúrio no capilar. Sabemos que o volume da coluna é dado por:
V = A cdot L
Onde A é a seção reta constante do capilar e L é o comprimento da coluna de mercúrio. Então, a variação de volume também pode ser expressa como:
De

Passo 4

Além disso, o vidro do termômetro também se dilata com o aumento de temperatura. A dilatação linear do vidro é dada por:
De
Aqui, alpha é o coeficiente de dilatação linear do vidro. Essa expansão do vidro afeta o comprimento total da coluna de mercúrio, pois o capilar também se expande.

Passo 5

Agora, vamos juntar as duas variações de comprimento. A variação total do comprimento da coluna de mercúrio será a variação causada pela dilatação do mercúrio menos a variação causada pela dilatação do vidro:
De
Podemos simplificar essa expressão isolando L:
L = Vi beta - 3 alpha A LA
Assumindo que De é pequena e reorganizando os termos, chegamos à fórmula desejada:
L = ViA (beta - 3 alpha)

Resposta

Assim, o comprimento L da coluna de mercúrio no capilar em função da temperatura T é dado por:
L = ViA (beta - 3 alpha)

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