Um cubo de aresta está inicialmente em repouso apoiado em uma das arestas. Mostre que se o cubo for levemente perturbado a sua velocidae angular quando uma das a faces atingir o plano é dada por onde se a aresta permanece fixa e se ela desliza sem atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cubo com aresta que está parado, apoiado em uma das suas arestas. A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular dele quando ele começa a girar e uma das faces toca o chão. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que acontece. Quando o cubo é perturbado levemente, ele começa a girar em torno de uma das suas arestas. Para entender como ele gira, precisamos calcular o momento de inércia do cubo em relação a essa aresta. O momento de inércia nos diz como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, o que afeta quanta força é necessária para girar o objeto.

Passo 3

O momento de inércia ( ) de um cubo em relação a uma de suas arestas pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
  • é a massa do cubo
  • é a aresta do cubo
Essa fórmula nos mostra que o momento de inércia depende do quadrado da aresta do cubo, indicando que quanto maior for o cubo, mais difícil será girá-lo.

Passo 4

Agora, vamos considerar a energia envolvida no sistema. Quando o cubo começa a girar, a energia potencial gravitacional (devido à altura do centro de massa) se converte em energia cinética rotacional. A energia potencial inicial ( ) pode ser expressa como:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade
  • é a altura do centro de massa em relação ao ponto de apoio
Para um cubo apoiado em uma aresta, o centro de massa está a uma altura de .

Passo 5

A energia cinética rotacional ( ) é dada por:
Substituindo o momento de inércia que calculamos:

Passo 6

Como a energia potencial se converte em energia cinética, podemos igualar as duas:
Perceba que a massa aparece nos dois lados e pode ser simplificada:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Mas o exercício pede a expressão com diferentes valores para dependendo das condições. Isso significa que precisamos considerar se a aresta está fixa ou pode deslizar sem atrito.
Quando a aresta está fixa, a energia está totalmente convertida em energia cinética rotacional, resultando em . Se a aresta pode deslizar sem atrito, parte da energia também é usada para mover o centro de massa, alterando o valor de para .

Resposta

Portanto, a velocidade angular do cubo quando uma das suas faces atinge o plano é dada por:
Onde:
  • se a aresta permanece fixa
  • se a aresta desliza sem atrito

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