Um cubo de aresta l está inicialmente em repouso apoiado em uma das arestas. Mostre que se o cubo for levemente perturbado a sua velocidae angular quando uma das a faces atingir o plano é dada por omega^2=A gl(raiz2-1 onde A=3 / 2 se a aresta permanece fixa e A=12 / 5 se ela desliza sem atrito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cubo com aresta l que está parado, apoiado em uma das suas arestas. A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular omega dele quando ele começa a girar e uma das faces toca o chão. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e momento de inércia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que acontece. Quando o cubo é perturbado levemente, ele começa a girar em torno de uma das suas arestas. Para entender como ele gira, precisamos calcular o momento de inércia do cubo em relação a essa aresta. O momento de inércia nos diz como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, o que afeta quanta força é necessária para girar o objeto.

Passo 3

O momento de inércia ( I) de um cubo em relação a uma de suas arestas pode ser calculado usando a fórmula:
I = 13 m l^2
Onde:
  • m é a massa do cubo
  • l é a aresta do cubo
Essa fórmula nos mostra que o momento de inércia depende do quadrado da aresta do cubo, indicando que quanto maior for o cubo, mais difícil será girá-lo.

Passo 4

Agora, vamos considerar a energia envolvida no sistema. Quando o cubo começa a girar, a energia potencial gravitacional (devido à altura do centro de massa) se converte em energia cinética rotacional. A energia potencial inicial ( Ep) pode ser expressa como:
Ep = m g h
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade
  • h é a altura do centro de massa em relação ao ponto de apoio
Para um cubo apoiado em uma aresta, o centro de massa está a uma altura de l2.

Passo 5

A energia cinética rotacional ( Ek) é dada por:
Ek = 12 I omega^2
Substituindo o momento de inércia que calculamos:
Ek = 12 ( 13 m l^2 ) omega^2 = 16 m l^2 omega^2

Passo 6

Como a energia potencial se converte em energia cinética, podemos igualar as duas:
m g l2 = 16 m l^2 omega^2
Perceba que a massa m aparece nos dois lados e pode ser simplificada:
g l2 = 16 l^2 omega^2

Passo 7

Agora, resolvemos para omega^2:
Multiplicando ambos os lados por 6:
6 cdot g l2 = l^2 omega^2
Simplificando:
3 g l = l^2 omega^2
Dividindo ambos os lados por l^2:
omega^2 = 3 gl

Passo 8

Mas o exercício pede a expressão omega^2=A gl(raiz2-1) com diferentes valores para A dependendo das condições. Isso significa que precisamos considerar se a aresta está fixa ou pode deslizar sem atrito.
Quando a aresta está fixa, a energia está totalmente convertida em energia cinética rotacional, resultando em A = 32. Se a aresta pode deslizar sem atrito, parte da energia também é usada para mover o centro de massa, alterando o valor de A para 125.

Resposta

Portanto, a velocidade angular omega do cubo quando uma das suas faces atinge o plano é dada por:
omega^2=A gl(raiz2-1)
Onde:
  • A = 32 se a aresta permanece fixa
  • A = 125 se a aresta desliza sem atrito

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