Um cubo de aresta
está inicialmente em repouso apoiado em uma das arestas. Mostre que se o cubo for levemente perturbado a sua velocidae angular quando uma das a faces atingir o plano é dada por
onde
se a aresta permanece fixa e
se ela desliza sem atrito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cubo com aresta
que está parado, apoiado em uma das suas arestas. A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular
dele quando ele começa a girar e uma das faces toca o chão. Vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e momento de inércia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que acontece. Quando o cubo é perturbado levemente, ele começa a girar em torno de uma das suas arestas. Para entender como ele gira, precisamos calcular o momento de inércia do cubo em relação a essa aresta. O momento de inércia nos diz como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação, o que afeta quanta força é necessária para girar o objeto.
Passo 3
O momento de inércia (
) de um cubo em relação a uma de suas arestas pode ser calculado usando a fórmula:
Onde:
-
é a massa do cubo -
é a aresta do cubo
Essa fórmula nos mostra que o momento de inércia depende do quadrado da aresta do cubo, indicando que quanto maior for o cubo, mais difícil será girá-lo.
Passo 4
Agora, vamos considerar a energia envolvida no sistema. Quando o cubo começa a girar, a energia potencial gravitacional (devido à altura do centro de massa) se converte em energia cinética rotacional. A energia potencial inicial (
) pode ser expressa como:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade -
é a altura do centro de massa em relação ao ponto de apoio
Para um cubo apoiado em uma aresta, o centro de massa está a uma altura de
.
Passo 5
A energia cinética rotacional (
) é dada por:
Substituindo o momento de inércia que calculamos:
Passo 6
Como a energia potencial se converte em energia cinética, podemos igualar as duas:
Perceba que a massa
aparece nos dois lados e pode ser simplificada:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Mas o exercício pede a expressão
com diferentes valores para
dependendo das condições. Isso significa que precisamos considerar se a aresta está fixa ou pode deslizar sem atrito.
Quando a aresta está fixa, a energia está totalmente convertida em energia cinética rotacional, resultando em
. Se a aresta pode deslizar sem atrito, parte da energia também é usada para mover o centro de massa, alterando o valor de
para
.
Resposta
Portanto, a velocidade angular
do cubo quando uma das suas faces atinge o plano é dada por:
Onde:
-
se a aresta permanece fixa -
se a aresta desliza sem atrito